구간 연속 함수 아래의 콤팩트 세트 이미지
허락하다 $a,b>0\in\mathbb{R}$. 허락하다$U$ 도메인이되다 $\mathbb{C}^n$. 허락하다$f:[a,b]\longrightarrow U$부분적으로 연속적인 맵이어야합니다. 그럼$f[a,b]$콤팩트? 콤팩트하지 않으면 제한됩니까?
확인. 이것은 다음과 같은 맥락입니다. 부분적으로 부드러운 경로가 주어졌습니다.$\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. 어디$\gamma(a)=z$ 과 $\gamma(b)=w$, 주어진 $z,w\in U$. 우리는 또한 기능이 주어집니다$\alpha:U\times\mathbb{C}^n\longrightarrow \mathbb{R}$, 이는 상위 반 연속입니다. 이제 그것은 말한다$t\in[a,b]\longrightarrow \alpha(\gamma(t),\gamma’(t))$제한되고 측정 가능합니다. 함수가 제한된 이유를 알고 싶었습니다. 알아$\gamma[a,b]$컴팩트합니다. 과$\gamma$상위 반 연속은 컴팩트 세트에서 최대 값에 도달합니다. 그러나 나는 확실하지 않다$\gamma’$.
답변
꼭 필요한 것은 아니지만 컴팩트 : 켜기 $[0,1]$ 허락하다 $f(x) = x, 0\le x<1,$ $f(1)=2.$ 그때 $f([0,1]) = [0,1)\cup\{2\}.$
경계, 예 : 첫째, 기본형 : If $f$ 계속된다 $(a,b)$ 과 $f$ 끝점에 유한 한계가 있습니다. $f(a,b)$ 제한됩니다.
증거 : 가정 $\lim_{x\to a^+} f(x)=L,$ $\lim_{x\to b^-} f(x)=M.$ 허락하다 $\epsilon=1.$ 그런 다음 존재 $\delta_a>0, \delta_a<(b-a)/3,$ 그런 $|f(x)-L|<1$ ...에 대한 $x\in (a,a+\delta_a).$ 따라서 그러한 $x,$
$$|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L|+|L| <1+|L|.$$
마찬가지로 존재합니다 $\delta_b>0,\delta_b<(b-a)/3,$ 그런 $|f(x)|<1+|M|$ ...에 대한 $x\in (b-\delta_b,b).$ 그것은 다음과 같습니다 $f$ 세트에 제한되어 있습니다. $(a,a+\delta_a)\cup (b-\delta_b,b).$
이후 $f$ 컴팩트 세트에서 연속적입니다. $[a+\delta_a,b-\delta_b],$ $f([a+\delta_a,b-\delta_b])$콤팩트하므로 경계가 있습니다. 그것은 다음과 같습니다$f(a,b)$ 제한됩니다.
이제 가정 $f$ 부분적으로 연속적입니다. $[a,b].$ 그런 다음 포인트가 있습니다 $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ 그런 $f$ 각각에 연속 $I_k=(x_{k-1},x_k)$ 끝점에 유한 제한이 있습니다. $I_k.$ 기본형에 따라 각각 $f(I_k)$제한됩니다. 세트$f(\{x_0,\dots x_n\})$또한 제한됩니다. 따라서
$$f([a,b])=f(I_1)\cup \cdots \cup f(I_n)\cup f(\{x_0,\dots x_n\})$$
제한됩니다.