관련 섬유 시퀀스 $BO(2)$, $BSO(3)$ 과 $BSU(2)$

Nov 18 2020

다른 질문에 대한 답변에서 섬유 시퀀스가 ​​있다는 것이 주목됩니다. $$\mathbf{RP}^2 \to BO(2) \to BSO(3),$$ $$\mathbf{RP}^\infty \to BSU(2) \to BSO(3).$$

두 번째는 이 답변에 명시된 또 다른 사실 , 즉 정확한 시퀀스가있는 경우$1 \to H \to G \to G/H \to 1$, 그런 다음 섬유 시퀀스를 유도합니다. $$ BH \to BG \to B(G/H).$$ 그래도 첫 번째를 얻는 방법을 모르겠습니다.

누군가 이러한 사실 중 하나에 대한 참조가 있습니까?

답변

1 JHF Nov 18 2020 at 03:28

짧은 정확한 그룹 시퀀스가 ​​호모 토피의 긴 정확한 시퀀스를 사용하여 섬유의 호모 토피 그룹을 계산하고 분류 공간이 그들의 호모 토피 그룹에 의해 특징 화된다는 점에 주목함으로써 분류 공간의 섬유 시퀀스를 유도하는지 직접 확인할 수 있습니다.

또는 공간 분류 모델을 작성하고 확인할 수 있습니다. 허락하다$EG$ 수축 가능한 공간 $G$ 자유롭게 행동합니다. 그런 다음지도 $BG \to B(G/H)$ 에 의해 모델링 $$BG \simeq EG \times_G E(G/H) \simeq BH \times_{G/H} E(G/H) \to * \times_{G/H} E(G/H) \simeq B(G/H),$$ 누구의 호모 토피 섬유가 $BH$.

반면에 시퀀스 $$\mathbb{R}P^2 \to BO(2) \to BSO(3)$$ 그룹 동형에 의해 유도됩니다 $O(2) \hookrightarrow SO(3)$ 배상 $A$ ...에 $A \oplus \det A$. 섬유$BO(2) \to BSO(3)$ 이다 $SO(3)/O(2)$으로 식별 할 수 있습니다. $\mathbb{R}P^2$. ($SO(3)$ 라인에서 전 이적으로 작동 $\mathbb{R}^3$, 선의 안정제는 $O(2)$.)