귀납법에 의한 증명-이것이 맞습니까?
귀납법에 의한 증명 : 모두를 위해 $n\in \mathbb{N}$, $7^{2n}+ 2^{(2n+1)}$ 의 배수입니다 $3$.
꽤 먼 것 같지만 그것이 옳은지 / 어떻게 계속해야할지 모르겠습니다. 내 작업 :
기본 사례 : 표시 $n=1$ 보유 : $7^2 + 2^3 = 57$ 과 $3|57$ 그래서 $n=1$ 보류.
그것을 가정 $n=k$ 보유 : $7^{2k}+2^{(2k+1)}$.
증명 $n=k+1$ 보유 : $7^{(2k+2)} + 2^{(2k+3)}$
나는 이것을 재정렬하여 다음과 같은 형태가되도록 $n=k$ 그리고 얻었다 $7^2 \cdot 7^{2k} + 2^2 \cdot 2^{(2k+1)}$.
그런 다음 이것을 단순화하고 재정렬했습니다. $4 \cdot 7^2k + 4 \cdot 2^{(2k+1)} + 45 \cdot 7^{2k}$.
배수를 꺼내 $4$ 준다 $4(7^{2k} +2^{2k+1}) + 45 \cdot 7^{2k}$ 이후 $(7^{2k} +2^{2k+1})$ 의 배수입니다 $3$, 나는 그것을 동등하게한다 $3m$ 그래서 그것은 $4(3m) + 45 \cdot 7^{2k}$.
마지막으로, 나는 $3$ 얻기 위해 $3(4m + 15 \cdot 7^{2k})$ 이것은의 배수입니다 $3$, 따라서 진술은 귀납법으로 유지됩니다.
내 증명이 완전히 정확합니까? 더 쉬운 방법이 있었나요?
답변
귀하의 증명은 정확하지만 너무 장황합니다. 그냥 적어 두지 않는 이유 $$ 7^{2k+2}+2^{2k+3} = 49(7^{2k})+4(2^{2k+1})=45(7^{2k})+4(7^{2k}+2^{2k+1}) $$ 그리고 당신은 끝났습니다.
더 쉬운 방법을 요청 했으므로 (귀납법을 사용해야한다고 가정) 모듈 식 산술 사용을 고려하십시오.
기본 케이스의 경우 $n=1$ 우리는 $7^{2n}+ 2^{2n+1}\equiv 1^{2n}+-1^{2n+1} \equiv 0 \pmod 3$
그때 $7^{2n+2}+2^{2n+3}=7^{2}\cdot7^{2n}+4\cdot2^{2n+1}\equiv7^{2n+2}+2^{2n+1}\equiv0\pmod 3$ 가설에 의해.
그러나이 경우에는 기본 케이스를 별도로 확인하지 않고도 동일한 작업을 수행 할 수 있으므로 약간 인위적입니다.