결합 클래스를 피하는 자유 그룹의 하위 그룹
허락하다 $G = (\mathbb Z/2\mathbb Z)^{\ast m}$ 일부 주문 그룹의 무료 제품 $2$. 허락하다$\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 발전기가 되십시오.
무료 노벨 리안 하위 그룹을 찾을 수 있습니까? $G$ 중요하지 않은 요소가 없습니다. $\alpha_i \alpha_j$? 어떻게 증명할 수 있습니까?
답변
나는 당신의 질문의 더 강한 버전에 대답 할 것입니다. $\alpha_i \alpha_j$ 유한 하위 집합으로 대체됩니다. $A \subset G$.
다음과 같은 경우 불가능합니다. $m=1$ 때문에 $G$ 이 경우에는 유한하므로 자유롭고 노벨 리안 하위 그룹이 없습니다.
다음과 같은 경우에도 가능하지 않습니다. $m=2$ 때문에 $G$ 인덱스 2 아벨 하위 그룹 (사실 순환)을 갖고 있으므로 자유 노나 벨 하위 그룹이없는 무한 2 면체 그룹입니다.
그래서 우리는 가정해야합니다 $m \ge 3$.
모든 요소 $G$ 형식의 시퀀스를 의미하는 "축약 된 단어"로 고유하게 표현됩니다. $\alpha_{i_1} .... \alpha_{i_k}$ 연속 된 두 글자 $\alpha_{i_j} \alpha_{i_{j+1}}$불평등합니다. 정체성은 빈 단어에 해당합니다.$k=0$.
의 모든 결합 클래스 $G$이 감소된다는 것을 의미 "순환 감소 단어"로 반 고유 표현 대표 갖는다 및 $b_{i_m}, b_{i_1}$불평등하다. "semi-unique"라는 말은 conjugacy 클래스의 대표가 단어의 순환 순열까지 고유하다는 것을 의미합니다.
자, 첫 번째 단계는 각 요소의 켤레 클래스를 표현하는 것입니다. $A$ 주기적으로 축약 된 단어로 $k$ 해당 단어의 최대 길이가됩니다.
다음과 같은 경우 특히 간단한 구조가 있습니다. $m \ge 4$.
뚜렷한 축약 단어 선택 $w,v$ 길이 $>k$ 시작 및 끝 문자 $w$ 과 $v$ 예를 들면 다음과 같습니다. $$w = (\alpha_1 \alpha_2)^k \alpha_3 $$ $$v = (\alpha_2 \alpha_3)^k \alpha_4 $$ 문자의 모든 중요하지 않은 축소 단어는 $w$ 과 $v$, 대체 후 문자에서 주기적으로 축소 된 단어가됩니다. $\alpha_1,\ldots,\alpha_4$, 게다가 길이가 $\ge k$. 예를 들면$$w^{-1} v = \alpha_3 (\alpha_2 \alpha_1)^k (\alpha_2 \alpha_3)^k \alpha_4 $$ 따라서 그룹 $\langle w,v \rangle$ 랭크 2 자유 그룹이며 그 안의 모든 중요하지 않은 요소는 주기적으로 길이가 감소합니다. $> k$, 따라서 집합의 어떤 요소에도 결합되지 않습니다. $A$.
만약 $m=3$ 선택할 수 없습니다 $w,v$그렇게 단순한 방식으로. 그러나 하나는 선택할 수 있습니다$w,v$ 길고 줄인 단어 (길이 $\ge k + 4$) 편지에서 $\alpha_1,\ldots,\alpha_3$ 각 연결이 $ww$, $vv$, $wv$, $wv^{-1}$, $vw$, $vw^{-1}$ 단어를 생산하다 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 짧은 취소 (최대 $2$편지가 취소됩니다). 그런 다음 기호의 각 축약 단어가$w,v$ 글자의 단어로 평가 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 순환 감소에 길이가있는 $\ge k+2$, 그래서 사소하지 않고 다음의 어떤 요소와도 결합되지 않습니다. $A$.
Lee Mosher가 말했듯이 $m \le 2$. 만약$m \ge 3$ 우리는 다음과 같이 조금 다르게 주장 할 수 있습니다. $G$잔차 유한 ( 증명 )이므로 정규 부분 군을 찾을 수 있습니다.$N$ 유한 한 인덱스가 아닌 비 동일성 요소의 집합, 특히 집합 $\{ \alpha_i \alpha_j \}$. 이후$N$그것은 정상적이며, 그 요소들의 켤레도 포함하지 않습니다. 그것을 보여주는 것은 남아 있습니다$N$ 무료 노벨 리안 하위 그룹을 포함합니다.
Kurosh 하위 그룹 정리에 의해 $N$ 유한 한 많은 사본의 무료 제품입니다. $\mathbb{Z}$ 과 $\mathbb{Z}/2$. 그것은 사본의 직접적인 제품에 대한 자연적인지도를 가지고 있습니다.$\mathbb{Z}/2$ 커널이 일반 하위 그룹 인 경우에만 $N'$유한 인덱스의 자유 (이것은 그룹의 그래프를 덮는 것에 관한 일부 자료 또는 동등하게 Kurosh 하위 그룹 정리의 약간 더 정확한 형태에서 따름). 이후$N'$ 유한 인덱스가 있습니다 $G$ 그것은 비 벨리 안이어야합니다 (이것이 우리가 가설을 사용하는 곳입니다 $m \ge 3$), 예를 들어 $G$ 사실상 abelian이 아니거나 orbifold Euler 특성이 $\chi(G) = \frac{m}{2} - (m-1) = 1 - \frac{m}{2}$ 음수입니다.