경계 값이있는 미분 불평등

Question

허락하다 $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ 두 배로 차별화 할 수있는 기능 $(0,1)$ 그런 $f(0)=f(1)=0$ 과 $f''+2f'+f \ge 0$

다음 중 어떤 값을 얻을 수 없는지 $f$ ?

$(a)\quad \pi$

$(b) \quad e$

$(c) \quad e^{\pi}$

$(d) \quad {\pi}^e$

나의 첫 번째 생각은 0과 평등을 취하는 것이었다.

그때 $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ Whefe $a,b$ 임의 상수입니다

경계 값으로 우리는 $a=0=b$ 그래서 $f=0$. 그래서 결론이 없습니다

다시 미분 방정식을

$f''+2f'+f=e^{\pi x}$

우리는 일반적인 해결책을 가지고 있습니다.

$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$

경계 값으로

$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ 과 $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $

그러나 이것으로부터 결론은 무엇입니까?

나는 이러한 유형의 문제에 대해 처음 접했기 때문에 완전히 혼란 스럽습니다.

이 질문을 해결하도록 도와주세요. 시간 내 줘서 고마워.

Answer 1

중히 여기다 $g(x)=e^xf(x)$. 그때$g(0)=g(1)=0$ 과 $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$. 이것은$g$볼록 함수입니다. 이제 시컨트가 볼록 함수에 대해 어떻게 놓여 있는지 기억하여$g(x)\le 0$ 따라서 또한 $f(x)\le 0$ ...에 대한 $x\in[0,1]$.