계산 방법 $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\,dx$

Question

나는 계산하고 싶다 $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\,dx$,하지만 복잡한 분석을 사용하고 싶지 않습니다. 어떻게 계산할 수 있습니까?

나는 시도했다

$$I\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx$$ $$I''\left(t\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x^3\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x}\,dx\:+\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x\left(1+x^4\right)}\,dx$$ $$=-\pi \:+\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x\left(1+x^4\right)}\,dx$$ $$I''''\left(t\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx$$ $$I''''\left(t\right)+I\left(t\right)=0$$미분 방정식을 풀고 초기 조건을 설정하는 것은 매우 긴 과정처럼 보입니다. 또 어떻게 계산할 수 있습니까?

Answer 1

와 $I\left(t\right)=\int _{-\infty}^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\:dx$, 당신은 $I’’’’(t)+I(t)= 0$, 모든 초기 조건과 함께

$$I(0)=0, \>\>\>I’(0)=\int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{1+x^4}dx =\frac\pi{\sqrt2} ,\\ I’’(0)=-\pi, \>\>\> I’’’(0)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^4}dx =\frac\pi{\sqrt2}\\ $$

솔루션으로 이어지는 $I(t) =\pi e^{-\frac t{\sqrt2}}\sin\frac t{\sqrt2} $. 그러므로,

$$\int _{-\infty}^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\:dx =I(1)=\pi e^{-\frac 1{\sqrt2}}\sin\frac 1{\sqrt2} $$

Answer 2

미분 방정식 자체는 나쁘지 않습니다 $$I(t)=e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}} \left(\left(c_1 e^{\sqrt{2} t}+c_2\right) \sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+\left(c_3 e^{\sqrt{2} t}+c_4\right) \cos \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right)$$그러나 당신이 쓴 것처럼 문제 는 조건을 설정하는 것일 수 있습니다 (하지만 할 수 있습니다)

대수를 사용하여 $a,b,c,d$ 뿌리가되다 $x^4+1=0$(넌 그들을 안다). 그래서$$\frac x{x^4 +1}=\frac x{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}$$ 부분 분수 분해를 사용하고 다음과 같은 네 개의 적분을 마주합니다. $$I_k=\int_{-\infty}^\infty\frac {\sin(x)}{x-k} dx\qquad \text{where} \qquad \text{k is a complex number}$$ 하다 $x=t +k$ $$\frac {\sin(x)}{x-k}=\frac {\sin(t+k)}{t}=\cos(k)\frac {\sin(t)}{t}+\sin(k)\frac {\cos(t)}{t}$$그리고 우리는 사인과 코사인 적분에 직면 할 것입니다. 하지만 최종 결과는 간단합니다$$I_k=\pi \, e^{i k}$$