“계수의 대칭으로 인해 $x=r$ 0입니다 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 그때 $x=\frac1r$ 또한 제로”
나는 인수 분해에 대한이 대답을 연구하고있었습니다 $x^4+x^3+x^2+x+1$:
https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1
저자는 다음과 같이 말합니다. "더 깨끗한 대수적 접근 방식은 계수의 대칭으로 인해 $x=r$ 0입니다 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 그때 $x= {1\over r}$ 또한 0입니다 "
그리고 결국 그는 $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$
질문 $1$: 계수 대칭의 의미는 무엇입니까?
질문 $2$: 동일한 접근 방식을 사용할 수 있습니까? $x^4-x^3+x^2-x+1$? (다른 질문과 관련이 있기 때문에 묻습니다.https://math.stackexchange.com/q/3792586)
답변
계수 목록$$x^4+x^3+x^2+x+1$$이다 $(1,1,1,1,1)$, 이것은 대칭입니다 (반대하면 동일한 목록이 표시됩니다). 즉, 유형 목록입니다$(a,b,c,b,a)$. 그리고 만약$r(\ne0)$ 의 뿌리입니다$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$그때$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$따라서$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$너무; 다시 말해,$\frac1r$ 또한 뿌리 $(1)$. 따라서 뿌리 중 하나가$\pm1$ (자신의 역과 동일한 유일한 숫자입니다), $(1)$\ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left 로 쓸 수 있습니다. (x ^ 2- \ left (r + \ frac1r \ right) x + 1 \ right) \ left (x ^ 2- \ left (r '+ \ frac1 {r'} \ right) x + 1 \ right). \ end {multline}
특히, $x^4-x^3+x^2-x+1$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다.$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$찾기 위해 $a$ 과 $b$, 시스템 해결$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$
원래 질문에 답하기 위해 사고 과정은 다음과 같습니다.
(1) 만약 $r$ 에 대한 해결책입니다 $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, 다음 $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.
(2) 양변을 $r^4$ 당신은 얻을 $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. 따라서$1\over r$ 또한 해결책입니다.
(3) 따라서 $(x-r)$ 다항식의 요소입니다. $(x-{1\over r})$ 또한 요인입니다.
(4) 따라서 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$
(5) 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $(x+ax+1)(x+bx+1)$