Gysin지도는 $K$-지루함을 존중하는 이론?
허락하다 $X_1$ 과 $X_2$ 두 개의 닫힌 스핀$^c$ 스핀을 통해 지루한 매니 폴드$^c$ 경계가있는 다양한 $W$.
허락하다 $Z$ 폐쇄적이다$^c$ 다기관 $\dim Z=\dim X_1$ 모드 $2$. 허락하다$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ 그런 매끄러운지도 $F|_{X_1}=f_1$ 과 $F|_{X_2}=f_2$. 우리는 연결할 수 있습니다$f_1$ 과 $f_2$ 두 개의 잘못된 방향 (또는 Gysin)지도 $K$-이론:
$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$
허락하다 $E_1\to X_1$ 과 $E_2\to X_2$ 둘이 $\mathbb{C}$-벡터 번들이 존재하는 벡터 번들 $\Omega\to W$ 만족스러운 $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ 과 $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. 허락하다$[E_i]\in K^0(X_i)$ 표시하다 $K$-에 의해 정의 된 이론 수업 $E_i$.
질문 : 사실입니까?$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?
이후 추가 : K- 이론 / K- 상동성에 Poincare 이중성을 직접 사용하지 않는 접근 방식에 가장 관심이 있습니다.
답변
허락하다 $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ 과 $f:M\to X$
부드러운 임베딩 선택 $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, 표시 $\chi$ 정상적인 번들 $X$ 그리고 $\mu$ 정상적인 번들 $M$ 적절한 작은 변형 후 $i\circ f$.
허락하다 $\nu=\mu|_N$ 과 $\eta$ 정상적인 묶음 $N\subset M$ (사소하고 일차원 적)
관형 이웃을 고려하여 자연지도를 얻습니다.
$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, 어디 $Th$ Thom 공간을 나타냅니다.
Thom 동형을 적용한 후 $th$ 의 위에 $K^\bullet$ 우리는 Gysin지도의 정의를 얻습니다 ( "오른쪽 방향"으로 $Th$'에스). 그래서$f_!(E|_N)=0$ 증명하는 것으로 충분합니다 $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
사실은 $t^*$연결 동형을 통과하고 있습니다. 즉, 교환 다이어그램이 있습니다.
$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$
위쪽 화살표는 관형 이웃에서 나옵니다.
수평 동형은 다음의 사소함에서 비롯됩니다. $\eta$, 정지 중 $\Sigma$ Puppe cofiber 시퀀스에서 :
$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$
지도 $\sigma$ commutativity를 설명하고 다음에서 비롯됩니다.
$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ 어디 $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ 의 칼라입니다 $N$.
드디어, $\Sigma^*$ 연결 동형이며 다음과 같습니다. $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ 모든 $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, 그래서 $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
대답은 '예'입니다. 오리엔테이션과 기본 클래스의 일반적인 속성을 사용합니다.
허락하다 $X_1$ 과 $X_2$ 있다 $n$-차원. 그때$f_{!i}$ 합성물이다 $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$
한편 Poincare 이중성 $W$ 형태가있다 $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$, 및 $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. 그러므로$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, 등
$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$
합성 이후
$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$
0입니다.