합계 찾기 $\frac{7}{(2)(3)}( \frac 13) + \frac{9}{(3)(4)} (\frac 13)^2 + \frac{11}{(4)(5)} (\frac 13)^3..$ 최대 10 개 용어

Question

나는 발견했다 $n^{th} $ 시리즈의 $$\frac{5+2n}{(1+n)(2+n)} (\frac 13)^{n}$$

있다 $\frac 13 $ 과 $5+2n$ 없었다면 텔레 스코핑 시리즈 였을 것입니다.

마찬가지로 $(1+n)(2+n)$ 용어가 없었다면 산술 기하학적 진행이었을 것입니다.

개별적으로 평가하는 방법을 알고 있지만 동시에 평가할 수는 없습니다.

이 문제를 어떻게 해결합니까?

Answer 1

부분 분수 확장하기 :

$$\frac{5+2n}{(1+n)(2+n)}=\frac{3}{(1+n)}-\frac{1}{(2+n)}$$

곱하기 $(\frac 13)^{n}$ 제공합니다 :

$$\frac{1}{(1+n)}(\frac 13)^{n-1}-\frac{1}{(1+(n+1))}(\frac 13)^{n}$$

실제로 텔레 스코핑 합계를 산출합니다.