합리적 제로 정리를 사용하여 $2x^3-3x^2-x+1$

Question

나는 합리적 제로 정리를 사용하여 $2x^3-3x^2-x+1$.

제공된 답변은 다음과 같습니다. $\frac{1}{2}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 과 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

나는 얻을 수 있었다 $\frac{1}{2}$ 혼자서도 다른 두 사람이 어떻게 발견되었는지는 알 수 없습니다.

내 교과서에서 나는 p의 인자의 몫을 q의 인자에 대해 취함으로써 후보 0을 찾을 수 있다고 들었습니다. 여기서 p는 상수항이고 q는 선행 계수입니다.

이 경우 p = 요인 1 = $\pm1$ 그리고 q = 2의 인수 = $\pm1, 2$. 내가 얻는 p / q의 조합 나누기$\pm1$ 과 $\pm\frac{1}{2}$.

그런 다음 함수 내에서 각 4 개의 조합을 x로 대체 해 보았습니다. $2x^3-3x^2-x+1$ 그리고 그것을 발견했습니다 $\frac{1}{2}$ 0입니다.

어떻게 / 왜 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 과 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$또한 0이고 합리적 제로 정리에서만 어떻게 결정할 수 있습니까? 이 마지막 부분은 내 교과서의 장과 연습 섹션에서 구체적으로이 정리를 사용하여 실제 0을 결정해야한다고 명시하고 있기 때문에 중요합니다.

Answer 1

힌트 합리적인 근 정리에 의해 당신은$1/2$ 입방체의 뿌리이므로 $2x-1$큐빅의 요소입니다. 나누기 알고리즘을 적용하면,$$2x^3-3x^2-x+1=(2x-1)(x^2-x-1)=0$$이제 2 차를 풀 수 있습니까? $x^2-x-1=0$?