행렬 A를 PA = LU로 분해 할 때 행렬 L의 행을 전환하는 방법은 무엇입니까?
순열 행렬 찾기 $P$, 하부 삼각 행렬 $L$ 그리고 상부 삼각 행렬 $U$ 그런 $$ PA=LU $$ 주어진 $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 \\ 3 & 7 & 11 & 16 & 21 & 27 \\ -4 & -5 & -5 & -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}$$
여기까지 왔어
$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ 과 $$ L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 마지막 단계는 세 번째 행으로 네 번째 행을 변경하는 것이지만 하부 삼각 행렬 L의 항목을 변경하는 방법을 정확히 모릅니다. L에서 정확히 전환해야하는 것이 무엇인지 설명 할 수 있습니까?
답변
긴 대답 : 순방향 제거의 결과를 다음과 같은 형식의 행렬 방정식이라고 생각하십시오.$U=E_r P_r E_{r-1} P_{r-1} \dots E_1 P_1 A$ 어디 $E_i$ "제거"행렬입니다 (아래의 열을 지우면 $i$일반적인 방식으로 피벗) 및 $P_i$ 이동하는 순열 행렬입니다. $i$th 피벗 $i$행 또는 신원 (해당 단계에서 교환을하지 않은 경우). 제거 행렬은 더 낮은 삼각형이며 함께 곱할 때 그대로 유지됩니다. 그러나 순열 행렬이 포함되면 더 낮은 삼각형이되지 않습니다.
이제 일반적으로 $E_i P_i$ 분리하다 $A$. 모두 함께 유지하면 역 삼각형이되지 않습니다.$PA=LU$당신은 그것을 원합니다. 그래서 대신에 제품을 다시 작성하는 것입니다.$E_r P_r \dots E_1 P_1$따라서 모든 순열 행렬이 오른쪽에 있고 모든 제거 행렬이 왼쪽에 있습니다. 그렇게하려면 글을 쓰는 방법을 파악하는 것으로 충분합니다.$PE$ 같이 $E' P'$.
이것은 다음과 같이 할 수 있습니다. $P'=P$ 과 $E'=P E P^{-1} = P E P^T$, 쉽게 확인할 수 있습니다. $E' P'=P E P^{-1} P=PE$. 이$E'$ 이 형식을 취하는 것은 대수학에서 일반적인 상황의 한 예입니다. 여기서 활용은 이미 적용된 다른 반전 가능한 연산의 "컨텍스트 내에서"연산을 적용하는 데 사용됩니다.
이를 반복해서 수행하면 모든 순열 행렬을 오른쪽으로 이동할 수 있습니다. 결과는 다음과 같습니다.
$$U=E_r (P_r E_{r-1}^T P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T) \\ \cdot P_r \cdot \dots \cdot P_1 \cdot A.$$
그래서 지금
$$L^{-1}=E_r (P_r E_{r-1} P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T)$$
이것은 간단히 말해서 무엇을 의미합니까? 그것은 올바른 것을 얻는 것을 의미합니다.$L^{-1}$, 당신은 당신의 "계산 된"에서 중요하지 않은 항목을 이동해야 $L^{-1}$" 해당 항목을 계산 한 후 수행 한 모든 행 교환을 기반으로합니다 .$L^{-1}$ 끝에는 여전히 동일하게 작동합니다 (사소하지 않은 항목의 기호를 뒤집기 만하면됩니다).
따라서 귀하의 예에서 행 교환의 효과 $3$ 과 $4$ 당신이 업데이트하는 것입니까? $L$ 인덱스의 역할을 교환하여 $3$ 과 $4$, 를 야기하는:
$$L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
이것은 행을 교환하는 것과 동일 하지 않습니다 .$3$ 행 포함 $4$.
그 후에이 특정 예에서 완료되었지만 그렇지 않은 경우 교환 하지 않을 것입니다.$3$ 와 $4$ 후속 단계에서.
짧은 대답 : 최종 매트릭스$P$당신이 한 모든 행 교환을 달성합니다. 얻기 위해$L$, 왼쪽에 순열 행렬을 곱하여 얻을 수있는 행 교환을 수행 할 때마다 $P$, 당신은 당신의 현재를 대체합니다 $L$ 와 $P L P^T$즉, 현재 행과 열 모두에서 순열을 수행합니다. $L$ (그러나 결승전에는 $L$).
행 축소를 사용하여
$$U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$
@Ian (+1)의 뛰어난 쓰기에 대한 대체 접근 방식으로 스왑을 포함한 행 감소 단계를 다음과 같이 반전 할 수 있습니다. $$A = E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}U$$
결과
$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 &0 & 1 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
우리는 그것을 본다 $L$ 아래쪽 삼각형이 아니고 3 번과 4 번 행을 바꾸면됩니다.
$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\3 & 1 &0 & 1\end{pmatrix}$$
그 스왑에는 순열 행렬이 필요합니다.
$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &0\end{pmatrix}$$
이제 우리는 확인할 수 있습니다
$$PA = LU$$
당신은 또한 확인할 수 있습니다 $$A = PLU = P^T LU = P^{-1} LU$$
예를 들어, LU 분해를 비정 방 행렬에서 어떻게 사용할 수 있습니까?