행렬 지수 계산

Question

주어진 행렬 $$M = \begin{pmatrix} 7i& -6-2i\\6-2i&-7i\end{pmatrix}$$ 행렬 지수는 어떻게 계산합니까 $e^M$?

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나는 그것을 사용할 수 있다는 것을 안다. $e^A=Pe^DP^{-1}$ 어디 $D=P^{-1}AP$. 위 행렬의 특성 다항식을 다음과 같이 계산했습니다.

$$P(\lambda)=\lambda^2+89$$

대각 행렬을 계산하는 것보다 더 쉬운 방법이 있습니까?

Answer 1

매트릭스 $M$ 고유 값으로 대각 화 가능 $\pm i\sqrt{89}$. 이것은$e^M = p(M)$ 어디 $p \in \Bbb{C}[x]$ 차수의 고유 다항식입니다. $2$ 그런 $$p(i\sqrt{89}) = e^{i\sqrt{89}}, \quad p(-i\sqrt{89}) = e^{-i\sqrt{89}}.$$

라그랑주 보간 공식을 사용하면 $$p(x) = \frac{x+i\sqrt{89}}{2i\sqrt{89}}e^{i\sqrt{89}}-\frac{x-i\sqrt{89}}{2i\sqrt{89}}e^{-i\sqrt{89}} = \frac{\sin\sqrt{89}}{\sqrt{89}}x+ \cos\sqrt{89}$$ 그래서 $$e^M = p(M) = \frac{\sin\sqrt{89}}{\sqrt{89}}M+ \cos\sqrt{89}I = \left( \begin{array}{cc} \frac{7 i \sin \sqrt{89}}{\sqrt{89}} +\cos\sqrt{89}& -\frac{(6+2 i) \sin \sqrt{89}}{\sqrt{89}} \\ \frac{(6-2 i) \sin \sqrt{89}}{\sqrt{89}} & -\frac{7 i \sin \sqrt{89}}{\sqrt{89}} +\cos\sqrt{89} \\ \end{array} \right).$$

Answer 2

Cayley-Hamilton을 통해 ${\rm M}^2 + 89 \, {\rm I}_2 = {\rm O}_2$. 그 후,

$$\begin{aligned} {\rm M}^2 &= - 89 \, {\rm I}_2\\ {\rm M}^3 &= - 89 \, {\rm M}\\ {\rm M}^4 &= 89^2 {\rm I}_2\\ {\rm M}^5 &= 89^2 {\rm M}\\ &\vdots\\ {\rm M}^{2k} &= (-1)^k 89^k {\rm I}_2\\ {\rm M}^{2k+1} &= (-1)^k 89^k {\rm M} \end{aligned}$$

과

$$\exp({\rm M}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{\rm M}^k}{k!} = \cdots = \color{blue}{\cos( \sqrt{89} ) \, {\rm I}_2 +\frac{\sin( \sqrt{89} )}{\sqrt{89}} {\rm M}}$$

Answer 3

특성 다항식이 있으면 유클리드 나눗셈을 사용하여 지수를 계산할 수도 있습니다.

$$\forall n\in\mathbb{N}^*,\exists(P_n,R_n)\in\mathbb{R}[X], \deg(R)\leq1, X^n=P_n(X)\times(X^2+89)+R_n(X) $$

허락하다 $R_n(X)=a_nX+b_n$, 당신은 얻을 : $$M^n=a_nM+b_n1 $$

그리고 당신은의 가치를 얻습니다 $a_n,b_n$ 와 함께 : $$(i\sqrt{89})^n=a_ni\sqrt{89}+b_n\\ (-i\sqrt{89})^n=-a_ni\sqrt{89}+b_n$$

그래서 당신은 : $$b_n=\frac{(i\sqrt{89})^n+(-i\sqrt{89})^n}{2}\\ a_n=\frac{(i\sqrt{89})^n-(-i\sqrt{89})^n}{2i\sqrt{89}} $$

그런 다음 정의를 사용합니다. $$e^M=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{M^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nM+b_n1}{n!} $$

그리고 여기에서 결론을 내릴 수 있습니다.

Answer 4

Cayley-Hamilton을 통해

$${\rm M}^2 = - 89 \, {\rm I}_2 = \left( i \sqrt{89} \right)^2 {\rm I}_2$$

따라서 매트릭스 ${\rm A} := \frac{{\rm M}}{i \sqrt{89}}$인 거듭 제곱 , 즉,${\rm A}^2 = {\rm I}_2$. 오일러의 공식을 사용하여 ,

$$\begin{aligned} \exp({\rm M}) = \exp \left( i \sqrt{89} {\rm A} \right) &= \cos \left( \sqrt{89} {\rm A} \right) + i \sin \left( \sqrt{89} {\rm A} \right)\\ &= \cos \left( \sqrt{89} \right) {\rm I}_2 + i \sin \left( \sqrt{89} \right) {\rm A}\\ &= \color{blue}{\cos \left( \sqrt{89} \right) {\rm I}_2 + \frac{\sin \left( \sqrt{89} \right)}{\sqrt{89}} {\rm M}}\end{aligned}$$

어디 $\cos \left( \sqrt{89} {\rm A} \right) = \cos \left( \sqrt{89} \right) {\rm I}_2$ 과 $\sin \left( \sqrt{89} {\rm A} \right)= \sin \left( \sqrt{89} \right) {\rm A}$ 때문에 ${\rm A}$입니다 거듭 제곱 .