행렬 내 시리즈 확장 계산 : 행렬 지수
나는 $(3 \times 3)$ 매트릭스 $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & - e^{-i \theta} & 0 \\ e^{i \theta} & 0 & - e^{-i \theta} \\ 0 & e^{i \theta} & 0 \end{pmatrix} $$ 매트릭스 지수를 계산하고 싶습니다. $\exp(t Y) = I + t Y + \frac{t^2 Y^2}{2!} + \ldots $ 내가 놔두면 $z : = e^{i \theta}$, 나는 가지고있다 $$ Y^2 = \begin{pmatrix} - |z|^2 & 0 & |z|^2 \\ 0 & -2 |z|^2 & 0 \\ |z|^2 & 0 & - |z|^2 \end{pmatrix} \\ Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \overline{z} |z|^2 & 0 \\ |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & -2z |z|^2 & 0 \end{pmatrix} $$ 과 $$ Y^4 = \begin{pmatrix} - \overline{z} |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & - \overline{z} |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & 4 |z|^4 & 0 \\ z |z|^2 (-z- \overline{z}) & 0 & z |z|^2 (z+ \overline{z}) \end{pmatrix}. $$ 환경 $|z| = 1$ 그리고 5 제곱 위의 행렬 지수를 계산합니다. $Y^5$, 나는 $$ \begin{pmatrix} 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (2 \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 4 \overline{z} + \ldots & \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots \\ tz - \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) + \frac{t^5}{5!} 2 (z + \overline{z}) + \ldots & 1 - \frac{2 t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} 4 + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 2 ( z+ \overline{z}) + \ldots \\ \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots & tz - \frac{t^3}{3!} 2 z + \frac{t^5}{5!} 4 z + \ldots & 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots \end{pmatrix} $$ 나는 도움으로 이것을 다시 쓸 수 있어야한다고 생각한다. $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$ 과 $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$.
예를 들어, $a_{22}$ 위의 용어는 거의 $\cos(t)$, 작동하지 않는 수치 요인을 제외하고. 또한$a_{11}$ 용어는 거의 $\cos(t)$, 용어가있는 경우를 제외하고 $\overline{z} (z+ z)$ 4 번째 거듭 제곱부터 시작합니다. $a_{33}$ 용어 $z$ 과 $\overline{z}$전환되었습니다. 그만큼$a_{32}$ 용어 인 것 같다 $z \sin(t)$그러나 다시 수치 계수는 작동하지 않습니다.
질문 : 누구든지 이러한 항목 (예 : 시리즈)의 패턴을 인식하고 행렬 지수를 계산할 수 있습니까?$e^{tY}$ 닫힌 형태로?
또한 행렬 지수는 $\exp(tZ)$ '일반화'의 $$Z = \begin{pmatrix} 0 & - \overline{z} & - \overline{z} \\ z & 0 & - \overline{z} \\ z & z & 0 \end{pmatrix} $$ 와 $z = e^{i \theta}$ 다시?
답변
환경 $z = e^{i \theta}$좋은 생각입니다. 다음과 같은 경우 조금 더 명확 해집니다.$(- e^{-i \theta})$ 대체된다 $-1/z$ 대신에 $-\overline z$ (복잡한 경우에도 결과가 정확 해집니다. $\theta$).
그래서 우리는 $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/z & 0 \\ z & 0 & -1/z \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix} $$ 첫 번째 힘은 $$ Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/z^2 \\ 0 & -2 & 0 \\ z^2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\, , \, Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2/z & 0 \\ -2z & 0 & 2/z \\ 0 & -2z & 0 \end{pmatrix}\,. \\ $$ 하나는 볼 수 있습니다 $\boxed{Y^3 = -2Y}$, 모든 거듭 제곱을 계산할 수 있습니다. $Y^n$ 측면에서 $Y$ 또는 $Y^2$: $$ Y^{2k+1} = (-2)^{k} Y \\ Y^{2k+2} = (-2)^{k} Y^2 $$ ...에 대한 $k \ge 1$. 따라서$$ \begin{align} \exp(tY) &= I + \left(t-\frac{2t^3}{3!} + \frac{2^2t^5}{5!} - \frac{2^3t^7}{7!} + \ldots\right)Y \\ &\quad + \left(\frac{t^2}{2!} - \frac{2t^4}{4!} + \frac{2^2t^6}{6!} - \frac{2^3t^8}{8!} + \ldots \right)Y^2 \\ &= I + \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}Y + \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right)Y^2 \, . \end{align} $$
일반적인 경우는 행렬 지수 계산 The Cayley-Hamilton Method : If$A$ 이다 $n$-차원 정사각형 행렬 및 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 특성 방정식의 0 $\det(\lambda I - A) = 0$, 다음 $$ \exp(tA) = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k A^k $$ 어디 $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}$ 선형 방정식 시스템의 해입니다 $$ e^{\lambda_i t} = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k \lambda_i^k \, , \, 1 \le i \le n \, . $$
우리의 경우 $\det(\lambda I - Y) = \lambda^3 + 2 = 0$ 0이있다 $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = i\sqrt 2$, $\lambda_3 = -i \sqrt 2$. 선형 방정식 시스템은 다음과 같습니다.$$ \begin{align} 1 &= \alpha_0 \\ e^{i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 + i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \\ e^{-i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 - i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \end{align} \, . $$ 해결책은 $$ \alpha_0 = 1, \, \alpha_1 = \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}, \, \alpha_2 = \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right) $$ 결과 확인 $\exp(tY)$ 위에서 얻은 것입니다.