하나는 가지고 있습니까 $2r_{0}(n)\lesssim k_{0}(n)(\log n)^{1+1/k_{0}(n)}$?

Question

Goldbach의 추측에 따라 저는 상한선을 찾으려고합니다. $r_{0}(n):=\inf\{r>0,(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\}$ 그것은 Cramer의 추측을 일반화 할 것입니다.

표시 $k_{0}(n)$ 정의 된 수량 $\pi(n+r_{0}(n))-\pi(n-r_{0}(n))$, 그것은 $2r_{0}(n)\lesssim k_{0}(n)(\log n)^{1+1/k_{0}(n)}$.

이것이 보류를 제안하는 휴리스틱이나 조건부 증거가 있습니까?

Answer 1

이 추측은 Cramer의 추측과 양립 할 수 없습니다. 실제로 Cramer는$k$ 우리는 $p_{k+1}-p_k\gg(\log p_k)^2$. 허락하다$n=\frac{p_{k+1}+p_{k-1}}{2}$. 그때$r_0(n)=\frac{p_{k+1}-p_{k-1}}{2}\gg(\log n)^2$, 동안 $k_0(n)=\pi(p_{k+1})-\pi(p_{k-1})=2$, 그래서 당신의 추측은 $(\log n)^2\ll(\log n)^{3/2}$, 물론 실패합니다.