항상 기능이 있습니까? $ f $ 어떤 $ Y - f ( X ) $ 과 $ X $ 독립적입니까?
허락하다 $ X $ 과 $ Y $ 실제 랜덤 변수입니다.
항상 기능이 있습니까? $ f $ 어떤 $ Y - f ( X ) $ 과 $ X $ 독립적입니까?
나는 그 진술을 증명하려고했지만 그것을 할 수 없었다.
설명이 거짓이면 랜덤 변수가 있어야합니다. $ X $ 과 $ Y $ 모든 기능에 대해 $ f $, $ Y - f ( X ) $ 과 $ X $있습니다 하지 독립적.
하지만 그런 랜덤 변수 쌍도 찾을 수 없었습니다 $ X $ 과 $ Y $.
조언이나 힌트를 주시면 감사하겠습니다!
답변
아니요,하지만 $f(X)$ 상관 관계가 없습니다.
두 가지 변수 $X$ 과 $Y$ 확률 분포가 $Y|X$ 의존하지 않는다 $X$. 중히 여기다$Y|X \sim N(0, X^{2})$, 다음 $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ 여전히 의존하는 $X$ 모든 기능 $f$.
우리가 정의한다면 $E[f(X)]$ 그래서 $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, 다음 $Cov(Y-f(X), X) = 0$. 예를 들어,$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ 선형이어야합니다.
허락하다 $\Omega = \{a,b,c\}$ 세 가지 결과가있는 확률 공간이며 각각 확률이 있습니다. $1/3$. 허락하다$X = 1_{\{a\}}$ 과 $Y = 1_{\{b\}}$. 다음과 같은 경우 확인할 수 있습니다.$A,B$이 공간에서 독립적 인 사건들 중 하나는 확률이 0 또는 1이어야합니다. 결과적으로,$X$상수 여야합니다. 그러나$Y-f(X)$ 반드시 일정하지 않을 수 있습니다. $b$ 과 $c$.