한계 계산 $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Question

한계를 계산해야합니다 $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

실제로 해결 방법이 있지만 60 초 이하의 답변이어야합니다 (문제가 많은 시험에서).

그래서 더 쉬운 방법이 있으면 방황하거나 더 빨리 생각해야합니다.

내가 시도한 것은 다음과 같습니다.

...에 대한 $ x\to \infty $ 또한 $ t\to\infty $ 과 $ \frac{1}{t^{2}}\to\infty $ 그래서 우리는 테일러 확장을 취할 수 있습니다 $ cos $ 주위에 $ 0 $:

$ \cos\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+R_{3}\left(x\right) $ 그러므로:

$ \cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)=1-\frac{1}{2t^{4}}+R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $

그리고 또한 $ |R_{3}\left(x\right)|=|\frac{f^{(4)}\left(x_{0}\right)}{4!}x^{4}|\leq\frac{x^{4}}{4!} $ 그러므로

$ |R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\frac{1}{4t^{8}} $

지금:

$ \intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\intop_{x}^{2x}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{5}}+\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\right)dt=\left(\ln\left(t\right)\right)_{x}^{2x}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t^{4}}\right)_{x}^{2x}+\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

과 $ |\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\intop_{x}^{2x}\frac{1}{4t^{9}}dt=\left(-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{t^{8}}\right)_{x}^{2x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0 $

그러므로 $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\ln2 $

그것에 대해 생각하는 데 꽤 오랜 시간이 걸렸습니다. 더 쉬운 방법 / 팁 또는 트릭이 있다면 정말 도움이 될 것입니다.

미리 감사드립니다

Answer 1

더 간단한 방법이 있습니다. 만약$x$ 충분히 크다 $0\leq 1-\cos (\frac 1 {t^{2}})<\epsilon$ 모든 $t \in (x,2x)$. 그 후$\int_x^{2x} \frac 1 t [1-\cos (\frac 1 {t^{2}})]dt<\epsilon (\ln (2x)-\ln x)=(\ln 2) \epsilon$. 따라서 한계를 찾는 것으로 충분합니다.$\int_x^{2x} \frac 1 t dt $ 그것은 $\ln 2$ 직접 계산에 의해.