한계 평가; 한 번에 모두 직접 또는 하나씩 직접 대체?

Question

직접 대체로 한계를 평가할 때, 모든 변수에 한 번에 한계 값을 부여해야하나요? 아니면 변수를 하나씩 대체하여 전체 함수에서 더 작은 표현을 단순화해도 괜찮습니까?

(비실용적 인) 예를 들어, $\frac{(e^{(x+2)ln4})^\frac{\lfloor x+1\rfloor}{4}-16}{4^x - 16}$. 이것은 함수가 왼쪽에서 2에 접근 할 때의 표현입니다. 단순화하면$\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$. 인터넷의 한 솔루션은$\lfloor x+1\rfloor$ 2로, 다른 모든 것을 동일하게 유지했습니다.

어떻게 작동합니까?

Answer 1

이것은 바닥 기능의 속성 때문입니다. 참고$x \in [1,2)$, $\lfloor x+1 \rfloor = 2$. 그 후

$$\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16} = \frac{2^{\frac{2 (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$$

우리는 함수의 가치에만 관심이 있기 때문에 $2^-$, 쓰기

$$\lim_{x \to 2^-}\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16} = \lim_{x \to 2^-}\frac{2^{\frac{2 (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$$

유효합니다. 하나의 한계 값을 대체 할 수 없습니다$x$ 하나씩, 예를 들어

$$4=\lim_{x \to 2} \frac {x^2-4}{x-2} \ne \lim_{x \to 2}\frac {4-4}{x-2} =0$$

그러나 우리가 당신의 예에 한 것은 대체가 아닙니다. 또 다른 예는 다음과 같습니다.

$$\lim_{x \to 0^-}\frac {|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-}\frac {-x}{x} = -1$$

근처부터 $0^-$, $|x| = -x$.