한계가 존재한다는 것을 증명하는 것은 그 가치가 실제 (유한)임을 보여주는 것과 동등합니까?

Aug 18 2020

저는 Tao 분석 I을 연구하고 있습니다. 제 질문은 한계 법칙을 사용하여 결과를 증명하는 데서 발생합니다. 이것은 제안 7.2.14 (c)의 예입니다.

c)하자 $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ 일련의 실수이고 $k\geq 0$정수 여야합니다. 두 시리즈 중 하나가$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ 과 $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ 수렴하면 다른 하나도되며 다음과 같은 정체성이 있습니다. $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$

증명하려는 나의 시도 : Let $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ 과 $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$, 그러면 우리는 $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ 모든 $N\geq m+k$, (문은 $N<m+k$ 와 $T_N=0$ 과 $S_N$ 색인 뒤에 중복 된 0 용어가 있습니다. $N$ ), 제한을 $N\to \infty$, 우리는 $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ 유한 합은 다음에 독립적이기 때문에 $N$.

자, 가정 $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ 수렴 $L$ , 다음 $\lim_{N\to\infty}S_N$ 존재하고 같다 $L$, 그리고 $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, 유한 합이 수렴하기 때문에 내 질문은 이전 두 결과를 사용하여 결론을 내릴 수 있습니까? $\lim_{N\to\infty}T_N$ 존재하고 같다 $L-M$.

아니면 증명해야 $S_N$ 다음과 같은 경우에만 코시 시퀀스입니다. $T_N$입니까? 다시 말하지만, 나는 해결책이나 증명 검증을 찾고 있지 않습니다. 제목이 말하는 것처럼 제 질문은 그것이 가치가 유한하다는 것을 보여주는 것과 동등한 한계의 존재를 증명하고 있습니까?

보다 논리적 인 용어는 다음과 같습니다. $equivalence$ 진술 참 : 한계가 있음 $\longleftrightarrow$ 한도의 가치 $\in \mathbb{R}$.

그렇다면 한계가 존재한다고 가정 할 수없는 이유는 무엇입니까? 그 값을 계산하려고 시도하고 그것이 실제이면 존재한다고 결론을 내리십시오. $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ 그리고 같음 $L$, 다음 $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ , 그러면 우리는 $(x-1)L=0$. 이후$x=1$ 모든 진짜 $x$ 터무니없는 것입니다. $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ 언제 $x\neq 1$. 그러나 우리는 한계가 처음에 존재하지 않기 때문에 위의 추론이 거짓이라는 것을 알고 있습니다.

답변

user2661923 Aug 19 2020 at 07:00

우선, 나는 찬성했습니다. 멋진 작품입니다.

분석 개선이 필요한 몇 가지 영역이 있습니다.

(1)
당신은
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$

이것은 당신이 쓴 것과 다릅니다.

(2)
위의 수정 사항
을 적용하여 RHS에 대한 첫 번째 용어를 여기에서 (제가 좋아하는) 접근 방식으로 계속 진행합니다 .$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
고정 된 수의 항 (따라서 유한) 의 합계입니다.$m$ 과 $k$ 고정 된 숫자입니다.

따라서 귀하의 접근 방식을 사용하면
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$,와 함께 $S$ 독립 의$N$,
후 작성$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $

그런 다음, 표기의 단순화를 위해, 내가 쓴 것 :
하자$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$

(3)
그러면 문제는$T$ 유한 한 경우 (무한이 아니라) $(T + S)$ 유한합니다.

이것이 문제의 요점이며, 직감이 확장되기를 원하는 곳입니다. 위의 주장은 다음을 사용하여 증명하기 위해 간단해야하는 경우에만$\epsilon, \delta$ 무한한 합산에 대한 정의.