하위 그룹 찾기 $S_5$ 쿼터니언과 동형 $Q$ [복제]
추상 대수 과정에서이 문제를 해결하려고합니다.
하위 그룹 찾기 $S_5$ (차수 5의 대칭 그룹) 쿼터니언 그룹과 동형 $Q$.
나는 요소를 적기 시작했다 $Q$ 몇 가지 예제를 시도하고 확인 된 쿼터니언 속성을 확인하려면 다음을 수행하십시오. $$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm j\}.$$ 분명히 요소 $1$ 이다 $(1)(2)(3)(4)(5)$ 에 $S_5$.
그런 다음 시도했습니다. $$i=(1234)(5)\ \ , \ \ -i=(1432)(5).$$
둘 다 주문이 있는지 확인합니다. $5$, 그리고 그들로부터 나는 $-1=(13)(24)(5)$. 이제 막혔습니다. 좋은 요소를 찾을 수 없기 때문에 잘못된 요소를 선택했다고 생각합니다.$\pm j$ 과 $\pm k$. 특정 그룹에 대해 동형 인 하위 그룹을 찾아야하는 이런 종류의 문제를 수행하는 가장 쉬운 방법은 무엇입니까?
어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
이것은 불가능합니다. 가장 작은 충실한 순열 작업$Q_8$일반적인 것입니다. 즉, 다음을 포함하는 가장 작은 대칭 그룹입니다.$Q_8$ 하위 그룹은 $S_8$.
이를 보려면 하위 그룹이 있는지 확인하십시오. $H\subseteq S_n$ 동형 $Q_8$, 다음 $X=\{1,\cdots,n\}$ 그룹 작업을 수행합니다. $H$. 궤도-안정화 정리에 따르면,이 동작이 전 이적이라면 코셋 공간에서의 동작과 동일해야합니다.$H/K$, 이는 $Q_8$ 행동 $Q_8/N$ 일부 하위 그룹 $N\le Q_8$. 그러나 모든 하위 그룹$Q_8$ 검사를 통해 정상적인 현상이므로 이러한 그룹 작업은 커널이 $N$사소합니다. 만약$X$ 전 이적이지 않다면 비정규 궤도의 결합입니다. $Q_8$ 중심 요소 포함 $-1$, 우린 알아 $-1$ 이 작업의 핵심에 있어야하므로 다시 한 번 충실하지 않습니다.
또는 다음을 찾을 수 있습니다. $2$-Sylow 하위 그룹 $S_n$ 그리고 비교 $Q_8$. 결국$S_n$ 동형 사본을 포함 $Q_8$, 그런 다음 $2$-적어도 크기의 실란트 $2^3$. 에 대한$n=4$ 따라서 또한 $n=5$ 그만큼 $2$-Sylow는 2 면체 그룹입니다. $D_8$ 주문 $2^3$ 동형이 아닌 $Q_8$. 실제로$n=6$ 따라서 또한 $n=7$ 그만큼 $2$-Sylow는 $D_8\times C_2$ (포함 $S_4\times S_2$) 복사본을 생성하는 한 쌍의 비 커뮤팅 인볼 루션이 없습니다. $Q_8$.
그러므로 $S_8$ 다음을 포함하는 가장 작은 대칭 그룹입니다. $Q_8$ (이것은 Cayley의 정리에서 사용되는 왼쪽 규칙적인 행동에 의해 제공되는 순열 표현입니다).