허락하다 $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$차별화 할 수 있습니다. 만약 $f'(a)=f'(b)$, 그러면 $c \in (a, b)$, 그런 $f'(c) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a}$

Question

책 ( Curso de Análise, volume 1 , Elon Lages)에는 많은 도움이되는 제안이 있습니다.

먼저 $$f'(a) =f'(b)=0$$ 그런 다음 기능을 고려하십시오. $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, 어디 $g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ 과 $g(a) = 0$. 보여줘$g$ 포인트에서 최대 또는 최소에 도달 $c \in (a,b)$. 일반적인 경우에는$$g(x) = f(x) - xf'(a)$$

왜 첫 번째 경우인지 알 수 있습니다. g의 미분을 취하면 다음과 같은 결과가 발생합니다.

$$g'(x) = \frac{1}{x - a} \left( f'(x) - \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right)$$

따라서 Weierstrass의 정리에 의해 콤팩트 세트에서 (미분 가능한 가설에서) 연속적이 됨으로써 우리는 $g$ 최대 / 최소 설정해야합니다. $c \in [a,b]$. 중요한 포인트가 됨으로써 우리는$g'(c) = 0$, 그리고 가정 $c \neq a$, 우리는 첫 번째 결론을 내 렸습니다.

그러나 (1) 왜 그것이 내적 요점이어야하는지 알 수 없습니다 (진지하게이 질문에 4 일 동안있었습니다). (2) 두 번째 제안은 저에게 명확하지 않습니다.

솔루션에 대한 다른 아이디어는 저에게 큰 도움이 될 것입니다.

Answer 1

첫 번째 부분에는 몇 가지 단계가 있으며 다음은 몇 가지 힌트입니다.

만약 $g$ 로컬 최소값 또는 로컬 최대 값이 없습니다. $(a,b)$ 그때 $g$반드시 단조롭습니다. 이것은$f$ 오목하거나 볼록합니다 ( $g$증가 또는 감소). 그 후$f'$단조롭습니다. 사실 그$f'(a)=f'(b)=0$ 것을 보여줍니다 $f'\equiv 0$ 과 $f$상수입니다. 그래서$c \in (a,b)$ 충분합니다.

두 번째 부분은 간단합니다. 첫 번째 부분을$g(x)=f(x)-xf'(a)$. 이후$g'(a)=g'(b)=0$이것은 가능하다). 방정식을 단순화$g'(c)=\frac {g(c)-g(a)} {c-a}$ 증명을 완료합니다.