허락하다 $f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. 분할 필드 표시 $f$ 위에 $\mathbb{Q}$ 1, 2, 3 또는 6도 이상 $\mathbb{Q}$.
질문 : 하자$f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. 분할 필드 표시$f$ 위에 $\mathbb{Q}$ 1, 2, 3 또는 6도 이상 $\mathbb{Q}$.
교수님이 힌트를 주셨지만 아직 이해가 안 돼요. 이 문제를 단계별로 해결해야합니다. 그의 팁을 사용합니다.
힌트 : 가장 큰 어려움은 6보다 클 수 없음을 보여주는 것입니다. 그런 다음 일부 값을 선택하는 것으로 충분합니다.$a, b$ 과 $c$. 확장에 학위가 있다는 Galois 부분을 찾으십시오.$\leq n!$. 분할 각도 필드가있는 다항식을 찾아야합니다.$1, 2, 3$ 과 $6$. 그리고 그보다 클 수 없다는 것을 보여주세요. 이것은 최악의 경우에 발생하기 때문에 6보다 클 수 없습니다 ... 그것은 학위를 가진 진짜 뿌리를 가지고 있습니다$\leq3$ (중간 값 정리를 사용하여 다항식이 홀수 차수를 갖기 때문에 항상 존재합니다) 및 차수의 복소수 (실수 일 수도 있음) $\leq 2$. 그런 다음 확장 정도$\leq 6$. 홀수 다항식은 실수 근을 가지기 때문에 중간 값 정리를 사용합니다.
시간을내어 도와 주시면 정말 감사합니다.
답변
우리는 갈루아 확장의 정도가 그 확장의 갈루아 그룹의 순서와 같다는 갈루아 이론의 기본 정리를 사용합니다. 필드에 계수가있는 다항식의 근을 추가하여 얻은 확장은 자동으로 Galois 확장입니다.
논리는 $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ 입방체이고 Galois 그룹 (즉, 분할 필드의 Galois 그룹)은 다음의 하위 그룹이됩니다. $S_3$ 순서가있는 $6$.
더 명시 적으로 $x_1, x_2, x_3$ (복잡한) 뿌리 $f$. 그럼 확실히$K=\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$분할 필드입니다. Galois 그룹$G$ 그 automorphisms의 집합입니다 $K$ 그 수정 $\mathbb{Q}$, 등은 뿌리에서 어떻게 작용하는지에 따라 결정됩니다. 그러나 모든 자동 변형이 수정되기 때문에$f$, 어떤 automorphism 아래에서 루트의 이미지는 여전히 루트이므로 $G$ 뿌리를 순열하므로 $G$ 의 하위 그룹입니다. $S_3$.
이제 두 번째 부분은 실제로 Galois 그룹이있는 다항식을 찾는 것입니다. $1$, $C_2$, $C_3 = A_3$ 과 $S_3$.
$1$ 간단합니다. 다음과 같은 3 개의 선형 다항식의 곱을 취하십시오. $(x-1)(x-2)(x-3)$.
에 대한 $C_2$예를 들어, 비합리적 근을 가진 2 차 다항식이 필요합니다. $(x-1)(x^2+1)$.
에 대한 $S_3$, 당신은 아이디어를 반복 할 수 있습니다 $C_2$ 그러나 이번에는 선형 부분에 비합리적인 루트를 제공합니다. $x^3 -2$.
다항식 얻기 $C_3$ 아마도 가장 어려운 것일 수도 있지만 "판별 자"라는 물체에 대한 약간의 시행 착오 또는 추가 통찰력이 있습니다. $x^3 -3x+1$ 예입니다.
허락하다 $L$ 갈라지는 분야 $f$ 위에 $\mathbb{Q}$. 이후$\mathbb{Q}$특성이 0이고 확장은 분리 가능하며 분할 필드이므로 정상입니다. 따라서$L/\mathbb{Q}$ Galois 확장입니다.
Galois 그룹이 $G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ 의 뿌리에 충실하게 행동 $f$ 에 $L$. 세 가지 뿌리가 있습니다$\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ 말해봐 $G$ 순열 그룹으로 볼 수 있습니다. $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$, 대칭 그룹의 하위 그룹이됩니다. $S_3$. 이후$S_3$ 주문이있다 $6$, 순서는 다음과 같습니다. $G$ 분할 $6$, 그래서 $1,2,3$ 또는 $6$.
Galois 확장의 정도가 Galois 그룹의 순서와 같다는 Galois 이론의 표준 결과이므로 $[L : \mathbb{Q}] = \lvert G \rvert$ 이다 $1, 2, 3$ 또는 $6$.
마지막으로 Piquito의 의견은 이러한 각 가능성이 실제로 발생한다는 것을 보여줍니다.