허락하다 $G$ 유한 한 그룹이고 $A:=\{a\in G\mid a\neq a^{-1}\}$. 증명 $|A|$ 짝수이다.

Nov 21 2020

허락하다 $G$ 유한 한 그룹이고 $A:=\{a \in G\mid a \neq a^{-1} \}$ 모든 요소를 ​​포함하는 집합 $G$각각의 역과 같지 않습니다. 증명$A$ 짝수 개의 요소를 포함합니다.

나는 몇 가지 게시물을 보았다 여기 여기 이 증거에 대한,하지만 아무도 내 시도와 유사 없었다.

내 시도는 다음과 같습니다.

이후 $G$ 유한, 그럼 $A$ 또한 유한합니다.

또한 $A$ 역이 있기 때문에 $G$ 그룹입니다.

자, 나누기 $A$ 두 세트로 $X$$Y$, 그런 $X\subseteq A$$Y\subseteq A$, 그래서 모든 요소 $X$ 그 반대 $Y$.

허락하다 $k_{1},k_{2} \in \mathbb{N}$, 그런 $\left | X \right | = k_{1}$$\left | Y \right | = k_{2}$.

역과 같은 요소가 없기 때문에 $A$, 다음 $ \left | A \right | = \left | X \right | + \left | Y \right |$.

게다가, $\left | X \right | = \left | Y \right |$ 때문에 $A$ 각각의 역과 다른 요소 만 포함합니다.

따라서 \ begin {aligned} \ left | \ right | & = \ 왼쪽 | X \ 오른쪽 | + \ 왼쪽 | Y \ 오른쪽 | \\ & = k_ {1} + k_ {2} && \ text {[$\left | X \right | = k_{1}$ 과 $\left | Y \right | = k_{2}$]} \\ & = k_ {1} + k_ {1} && \ text {[$\left | X \right | = \left | Y \right |$]} \\ & = 2 \ cdot k_ {1} \ end {aligned}

$2k_{1}$ 짝수의 정의에 따르면 짝수입니다.

따라서 세트 $A$ 짝수 개의 요소를 포함합니다.

내 증거가 괜찮아 보입니까? 모든 도움에 감사드립니다!

답변

7 LeeMosher Nov 21 2020 at 03:40

더 간단한 구분이 있습니다. $A$그게 트릭입니다. 나누는 대신$A$ 동일한 카디널리티의 두 개의 분리 된 서브 세트로, 두 요소 서브 세트의 쌍별 분리 된 콜렉션으로 나눕니다. $$A = \bigcup_{x \in A} \{x,x^{-1}\} $$

2 Gae.S. Nov 21 2020 at 03:45

Yuo는 좋은 아이디어가 있지만 몇 가지 문제를 강조하겠습니다.

  1. 자, 나누기 $A$ 두 세트로 $X$$Y$, 그런 $X\subseteq A$$Y\subseteq A$, 그래서 모든 요소 $X$ 그 반대 $Y$.

    예, 여기에 몇 가지 예가 있습니다. (a) $X=\emptyset$$Y=A$; (비)$X=A$$Y=A$. 아이디어가 작동하려면 다음을 추가해야합니다. (i)$x\in A$, $x\in X$ 또는 $x\in Y$; (ii) 그$X\cap Y=\emptyset$

  2. 위의 조건을 추가하면 $\lvert X\rvert=\lvert Y\rvert$ 주로 $x\mapsto x^{-1}$ 주사이다 $X$ ...에 $Y$((i) 또는 (ii)에 관계없이 사실임), 그리고 (i) 덕분에 대립. 조건 (ii) 또는 역과 같은 요소가 없다는 사실은이 목적과 관련이 없습니다.

  3. 반면에, (ii)는 $\lvert A\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert$.

세심한 독자는 (1)과 같이 한 쌍의 세트가 존재하는지 질문 할 수도 있습니다.