허락하다 $x_0$초월적인 숫자가 되고, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. 의 한계는 무엇입니까 $x_n$?

Jan 15 2021

허락하다$x_0$초월적인 숫자가 되고,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$의 한계는 무엇입니까$x_{n}$?

선택하다$x_0=\pi$, 그리고 의 한계인 것 같다.$x_n$~이다$-1$. 하지만 이에 대한 증거는 무엇인가$\pi$그리고 다른 숫자는? 허락하다$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$다음이 도움이 될 수 있습니다.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

답변

VarunVejalla Jan 15 2021 at 21:05

허락하다$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. 만약에$\lim x_n$존재, 그럼$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, 그래서 설정$$L=f(L)$$

이에 대한 세 가지 솔루션이 있습니다.$L = -3, -1, 1$. 올바른 것을 찾으려면 주변의 작은 이웃에 대해$-3$, 당신은$|f(x)+3|>|x+3|$, 그리고 주변$1$, 당신은$|f(x)-1|>|x-1|$. 모두$-3$그리고$1$, 그 차이는 더욱 커질 것입니다. 주위에$-1$반면에 당신은$|f(x)+1|<|x+1|$, 따라서 차이가 작아지고 있습니다(이것은 엄격한 증거가 아니라 직관적인 증거입니다).

따라서 "대부분"에 대해$x_0$, 로 수렴할 것입니다.$-1$. 수렴하는 유일한 방법$-3$또는$1$유한한 반복 횟수로 정확히 수렴하는 경우입니다. 그러나 그것이 사실이 되려면 다음과 같은 해결책이 있어야 합니다.$$f^n(x_0) = -3$$(또는$1$) 일부$n$, 이는 대수적이어야 함을 의미합니다. 따라서 모든 초월에 대한 한계는 다음과 같습니다.$-1$.