힐베르트 공간의 공
나는 최근에 아마도 어려운 질문으로 이어지는 흥미로운 사실을 발견했습니다. 만약$n$ 자연수입니다. $k_n$ 숫자가 가장 적다 $k$ 반지름의 열린 공이 $k$ 충분히 큰 차원 또는 무한 차원의 실제 힐베르트 공간에서 $n$ 반지름 1의 쌍으로 분리 된 열린 공 (힐베르트 공간의 치수는 적어도 $n-1$ 볼의 중심에 걸쳐있는 아핀 부분 공간으로 대체 될 수 있기 때문입니다.) 우리는 분명히 $k_1=1$ 과 $k_2=2$, 쉽게 볼 수 있습니다. $k_3=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2.1547$. 흥미로운 사실은$k_n\leq 1+\sqrt{2}\approx 2.414$ 모든 $n$, 무한 차원 힐베르트 공간에서이 반지름의 열린 공에는 반지름 1의 쌍으로 분리 된 열린 공이 무한히 많이 포함되어 있기 때문에 [직교 법선 기준의 점에 중심이있는 공을 고려하십시오]. 분명한 질문은 다음과 같습니다. (1)$k_n$? 이것은 알 수 있지만 구형 패킹과 관련이 있기 때문에 어려워 보입니다. (2)$k_n$ 엄격하게 증가 $n$? (3)$k_n<1+\sqrt{2}$ 모든 $n$, 또는 충분히 큰 경우 동일합니까? $n$? (4) 사실인가요?$\sup_n k_n=1+\sqrt{2}$? 그것은 완전히 명백하지도 않습니다$k_n$ 모두를 위해 존재 $n$즉, 가장 작은 $k$ 각각 $n$, 그러나 이것을 보여주는 간결성 주장이 있어야합니다. 나는 숫자가$1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ 과 $1+\sqrt{2}$너무 가깝지만 공의 동작은 극적으로 다릅니다. 이 질문은 더 작은 차원의 힐베르트 공간에서도 흥미 롭다고 생각합니다.$k_{n,d}$ 가장 작다 $k$ 반지름의 열린 공이 $k$ 힐베르트 차원의 공간에서 $d$ 포함 $n$ 반지름 1의 쌍으로 분리 된 열린 공 $k_{n,d}$ 안정화 $k_n$ ...에 대한 $d\geq n-1$. 뭐가$k_{n,d}$? (이것은 사실상 구형 패킹 질문이기 때문에 훨씬 더 어렵습니다.$n>>d$.)
답변
표기의 편의를 위해 기대 값을 작성하겠습니다. $\mathop{\mathbb{E}}_i t_i$ 평균을 나타 내기 위해 $(\sum_{i=1}^n t_i)/n$.
내가 당신의 구조를 올바르게 이해한다면, 당신은 반경의 분리 된 공을 가지고 있습니다. $1$ 중심에 $x_i = \sqrt{2} e_i$ 반경의 공에 포함 $1+\sqrt{2}$ 중심에 $y = 0$. 이 건설은$n$ 규칙적인 심플 렉스의 꼭지점에 단단히 채워진 볼은 위치 측면에서 최적입니다. $x_i$. 문제에 대한 정확한 최적 경계를 위해 다음을 선택해야합니다.$y=\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$ 반경을 구하려면 $$\boxed{k_n = 1+\sqrt{2 (1-1/n)}}.$$
두는 주장 $x_i$ 규칙의 정점에서 $(n-1)$-단순하고 $y$이 심플 렉스의 중심에서 최적은 여러 다른 맥락에서 이전에 여러 번 입증되었습니다. 예를 들어, 프레임 이론에서 " Welch-Rankin simplex bound " 의 다양한 부분 문자열에 의해 알려진 경계에 의해 암시됩니다 . 다음은 간단한 직접 증명입니다.
삼각형 부등식에 의해 반경의 공 $1+r$ 중심에 $y$ 반경의 공을 포함 $1$ 중심에 $x_i$ iff $\lVert x-y\rVert \le r$. 반경의 두 공$1$ 중심에 $x_i$ 과 $x_j$ 비 연속적이다 $\lVert x_i - x_j \rVert \ge 2$. 따라서 문제는 최소화하도록 요청합니다.$1 + \max_i \lVert y-x_i\rVert$ 대상 $\min_{i\ne j} \lVert x_i - x_j\rVert \ge 2$.
제곱 거리로 작업하는 것이 더 쉽습니다. 최대 제곱 거리$\max_i \lVert y-x_i\rVert^2$ 확실히 적어도 평균입니다 $\mathop{\mathbb{E}}_i \lVert y-x_i\rVert^2$. 이 평균은 다음과 같은 경우 최소화됩니다.$y$ 그 자체가 평균이다 $\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$,이 경우 다음과 같습니다. $\mathop{\mathbb{E}}_i \mathop{\mathbb{E}}_j \lVert x_i-x_j\rVert^2/2$. 각 학기$i=j$ 기여 $0$ 이 기대에, 각 용어는 $i\ne j$ 최소한 기여 $2$, 따라서 전반적으로이 기대치는 최소한 $2(n-1)/n$. 따라서 최대 제곱 거리$\max_i\lVert y-x_i\rVert^2$ 적어도 $2(n-1)/n$ 따라서 $1+r \ge 1+\sqrt{2(n-1)/n}.$ 앞에서 언급 한 최적의 구성이 직접 계산을 통해 또는 인수의 모든 단계에서 동등성을 달성한다는 점에 주목하여이 한계를 달성하는지 확인할 수 있습니다.