확률과 기대 IMO 책 질문
나는이 문제를 해결하려고했지만 그것을 보았을 때 해결책을 이해하지 못했습니다.
문제 : 있습니다$8$ 소녀와 $7$라운드 테이블 주위에 앉아 사회 파티에서 소년. 모든 소녀가 함께 앉으면 소년과 인접한 두 소녀 만 있습니다. 소녀와 소년이 가능한 한 번갈아 앉으면$14$소녀와 소년이 인접한 좌석 쌍. 소녀와 소년이 인접한 좌석은 평균 몇 쌍입니다.
댓글 : 내 문제는 솔루션을 보았을 때 왜 그들이 확률을 얻었는지 이해하지 못했다는 것입니다. $1$ 쌍과 곱셈 $15$(총 좌석 수). 남은 남학생 / 여학생의 수가 다르기 때문에 한 좌석에 페어를 갖는 이벤트가 다른 좌석에 페어를 갖는 것과는 별개라고 확신하지 못합니다.
누군가가 내 추론에 무엇이 잘못되었는지 그리고 왜 좌석 가능성이 있는지 이해하도록 도와 주시겠습니까? $i,j$ 좌석과 독립된 쌍 $j,j+1$ 한 쌍이 있습니까?
답변
허락하다 $A$ 순환 아벨 그룹 $\Bbb Z/15$ 와 $15$집단. 공간 고려$\Omega$ 모든 $\omega:A\to\{0,1\}\subset \Bbb R$, 그래서 $\sum \omega=8$. 여기서 우리는$\omega$ 튜플 $(\omega_0,\omega_1,\dots,\omega_{14})$ 과 $\sum\omega$ 구성 요소의 합계입니다 $\omega$. 랜덤 변수를 정의합니다.$X_a$ ...에 대한 $a\in A$ 정의 $X_a(\omega)=\omega_a$.
(우리는 소녀가 $1$ 입장 $\omega$, 소년에게 $0$ 항목을 입력하고 인덱스의 순환 순서를 사용하여 라운드 테이블 주위에 순환 적으로 동일한 순서로 배치되도록합니다.)
인접한 쌍의 수를 제공하는 함수 $01$ 및 / 또는 $10$ 랜덤 변수입니다. $Z$... $$ \begin{aligned} Z(\omega)&=\sum_{a\in A}|\omega_a-\omega_{a+1}|\ ,\text{ so}\\ Z&=\sum_a|X_a-X_{a+1}|\ . \\ &\qquad\text{ Then:} \\ \Bbb E Z &=\Bbb E\sum_a|X_a-X_{a+1}|\\ &=\sum_a\Bbb E|X_a-X_{a+1}|\\ &=|A|\cdot\Bbb E|X_0-X_1|\ , \end{aligned} $$ 순환 대칭을 사용하는 마지막 선 $\Omega$ 의 작용에 의해 유도 $A$.
이 인수는 정보를 "분리"하고 레이블이 지정된 좌석 만 볼 수 있도록합니다. $0$ 과 $1$.