형태가 제로인 카테고리는 제로 객체를 의미합니까?
허락하다 $\mathscr{A}$카테고리입니다. 그런 다음 우리는$\mathscr{A}$ 모든 경우 모피 즘이 0 인 카테고리입니다. $A,A'\in\mathscr{A}$ 제로 형태가 있습니다 $0_{AA'}\in\mathscr{A}(A,A')$, 제로 형태는 특정 교환 다이어그램 ( wiki 참조 )을 따릅니다 . 이제 가정$\mathscr{A}$ 개체가 없습니다. $0$. 그때$\mathscr{A}$는 형태가 0 인 범주이며 모든 0 형태는 0 개체를 통해 고유하게 요인을 처리합니다. 그렇다면 그 반대는 어떻습니까? 만약$\mathscr{A}$형태가 제로인 범주인데, 반드시 제로 객체를 가져야합니까? 그렇지 않다면 간단한 반례가 있습니까?
답변
아니요, 형태가 0 인 카테고리는 0 객체를 가질 필요가 없습니다. 간단한 반례는 0이 아닌 링을 고려하는 것입니다.$R$ 단일 개체 범주로 간주됩니다 (단일 개체 $\text{Ab}$-강화 / 사전 첨가 카테고리), 또는 더 일반적으로 요소가없는 모노 이드 / 흡수 요소 및 적어도 하나의 다른 0이 아닌 요소 (하지만 0이 아닌 링은 이들의 일반적이고 친숙한 예로서 좋습니다).
사실은 제로 형태의 범주가 주어지면 아직 하나가없는 경우 제로 객체를 인접하는 고유 한 방법이 있다는 것입니다. 다른 모든 객체와이 형태를 포함하는 모든 구성에는 고유 한 형태가 있습니다. 0입니다. 이 구성은 (객체가 0 인 카테고리)를 (모피 즘이 0 인 카테고리)에 포함하는 것의 왼쪽 인접이며, 두 경우 모두 모피 즘이 0 모피 즘을 보존하는 펑터입니다.
또한 형태가 0 인 범주에 초기 또는 종료 객체가있는 경우 해당 객체는 자동으로 0 객체가되며, 0 형태를 유지하는 객체가 0 인 두 범주 사이의 펑 터는 자동으로 0 객체를 유지합니다. 이 블로그 게시물 에서 좀 더 자세히 설명 하겠습니다 .