이 2 차 합동을 해결하는 방법은 무엇입니까? $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$ [복제]

Question

주어진 $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$

이 2 차 합동을 해결하는 방법은 무엇입니까? 모든 힌트를 환영합니다. 광장을 완성해서$27(x+\frac{10}{27})^2+\frac{845}{27} \equiv 0 \pmod{23} $ 정답 인 최소한의 잔류 물 시스템에서 두 가지 솔루션을 얻어야합니다. $w\equiv 6 \pmod{23}$ 과 $w \equiv 12 \pmod{23}$

Answer 1

손쉬운 수동 계산을 위해 방정식을 다음과 같이 다시 작성합니다. $$4w^2-3w+12\equiv0\bmod23$$ 선행 계수로 나누기, 즉 곱하기 $4^{-1}=6$: $$w^2+5w+3\equiv0\bmod23$$ 이제 2 차 공식을 적용합니다. $$w\equiv\frac{-5\pm\sqrt{13}}2\bmod23$$ 우리는 제곱근을 계산해야합니다. $13$ 에 $\mathbb Z_{23}$. $6$ 하나의 루트로 쉽게 확인되므로 $-6$ 다른 것 : $$w\equiv\frac{-5\pm6}2\equiv9\pm3\bmod23$$

Answer 2

힌트:

$$\pmod{23}: 4w^2-3w+12\equiv 0 \implies 8w^2-6w+1\equiv 0 \implies (2w-1)(4w-1)\equiv 0. $$

업데이트 2를 곱한 이유를 정당화하기 위해$4w^2-3w+12$, 분수보다 정수로 작업하는 것이 더 쉽기 때문에 16을 곱한 모든 계수 정수를 유지하면서 제곱을 완성하려면

$$16(4w^2-3w+12)=64w^2-48w+192=(8w-3)^2+183\equiv (8w-3)^2-1 = (8w-2)(8w-4)=8(4w-1)(2w-1) \pmod{23}$$

이제 그 이유를 알 수 있습니다.

업데이트 2 : Parcly Taxel의 2 차 모닉을 먼저 만드는 방법이 마음에 듭니다.

$$w^2+5w+3\equiv0\pmod{23}$$

그 후에 조금 더 빠르게 할 수 있습니다.

$$w^2-18w+3\equiv 0 \implies (w-9)^2 = 78\equiv 9 =3^2 \implies (w-6)(w-12) \equiv 0 \pmod{23}$$

Answer 3

이후 $27 \equiv 4$ 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $4w^2 + 20w + 35 \equiv 0.$ 광장을 완성하면 $(2w+5)^2 + 10 \equiv 0,$ 즉 $(2w+5)^2 \equiv -10.$ 그러나 $-10 \equiv -10+2\cdot 23=36=6^2,$ 그래서 $2w+5\equiv\pm 6,$ 즉 $2w=-5\pm 6.$

케이스 $+$: $2w=-5+6=1\equiv 1+23=24=2\cdot12$ 그래서 $w\equiv12.$

케이스 $-$: $2w=-5-6=-11\equiv -11+23=12=2\cdot6$ 그래서 $w\equiv6.$

따라서 솔루션은 $w=12$ 과 $w=6$.