이 비균질에 대한 일반적인 솔루션을 찾는 방법 $2^{nd}$-주문 DE : $y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$?

Aug 20 2020

비균질 미분 방정식을 보자 :

$$\boxed{y''-2y'+y=x \cdot e^{-x} \cdot \cos(x) } \tag{1}$$

RHS의 형식은 다음과 같습니다. $ b(x)=x\cdot e^{sx} \cdot \cos(tx) $ 어디 $s=-1, t=1$

정리 1

허락하다 $y_p(x)$ 비균질 DE의 특정 솔루션이고 $y_0(x)$연관된 동종 방정식 ( 일명 보완 방정식 )의 일반 해가 될 경우 비균질 방정식의 일반 해는 다음과 같습니다.$$ y_{g}(x) = y_p(x) + c_1 \cdot y_0(x)$$

보완 DE의 부분 솔루션

보완 DE는 2 차 선형 DE입니다 .$\boxed{y''-2y'+y=0 } \quad(2)$

특징적인 방정식은 다음과 같습니다. $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 $ 그것을주의해라 $\sqrt{b^2-4ac}=0$ 따라서 $\lambda= \frac{-b}{2a} = 1$

따라서 보완 DE의 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다. $\boxed{y_0(x) = c_1e^x+c_2xe^x } $

Homogeneous DE의 일반 솔루션

미결정 계수 방법

이론은

특정 솔루션에 대한 교육적 추측 $(1)$ 비슷한 형태의 솔루션이 될 것입니다.

내 교과서에서 $y_{sub}(x) = z(x)e^{(s-it)x}$ 작은 교대를 풀기위한 추측으로 $(1)$ 그건 $\boxed{y''-2y'+y=P(x)e^{(s-it)x} \quad(4)}$ (물론 $e^{ix} =\cos(x)+i \sin(x)$). 그런 다음$Im(y_p(x))$ 또는 $Re(y_p(x))$ 부분적인 해결책이 될 것입니다 $(1)$.
또 다른 리소스 는 이러한 형태의$b(x)=ae^{αx} \cos βx+be^{αx} \sin βx$ 나는 사용한다 $ Ae^{αx} \cos βx+Be^{αx} \sin βx $"a = 0 또는 b = 0이더라도 추측에는 두 용어가 모두 포함되어야합니다" 라는 메모와 함께 추측으로 표시됩니다 .

내 교과서의 조언을 따르십시오.

$\text{Let}\quad \:\:\: y_{sub}(x) = z(x)\cdot e^{(-1+i)x} \\ \text{then} \quad \: y_{sub}^{(1)}(x) =(z'(x)-(1-i)z(x)) \cdot e^{(-1+i)x} \\ \text{and} \quad \:\: y_{sub}^{(2)}(x) = (z''(x) - (2- 2i)z'(x) - 2iz(x))\cdot e^{(-1+i)x}$

부분 및 파생 항목 연결 $(4)$ 우리는 :

$y''-2y'+y=x \cdot e^{(-1+i)x} \iff \\ $ $(z'' - (2- 2i)z' - 2iz)\cdot e^{(-1+i)x} + (-2z'+2(1-i)z) \cdot e^{(-1+i)x} + z\cdot e^{(-1+i)x} = x \cdot e^{(1-i)x} \iff\\$ $z'' - (2- 2i)z' - 2iz -2z' + 2(1-i)z + z = x \iff $

$z''-4z'+2iz'-4iz+3z=x \iff \\$

$$ \boxed{z''+2z(-2+i)+z(3-4i) = x} \tag{5}$$

지금, $(5)$ 있다 $b(x) = $ 다항식 따라서 부분 솔루션 추측은 다음과 같은 형식이됩니다.

$y_{sub_2} = ax+b \iff$
$y^{(1)}_{sub_2} = a \iff$
$y^{(2)}_{sub_2} = 0$

따라서 부분 솔루션과 도함수를 $(5)$ 우리는 :

$z''+2z(-2+i)+z(3-4i) = x \iff$

$0 +2a(-2+i)+(ax+b)(3-4i) -x =0 \iff $

$ -4a +i2a +3ax -i4ax +3b -i4b -x =0 \iff $

$$ \boxed{[(3a-1)x - (4a +3b)] + i[4ax + (2a -4b) ] = 0} \quad (6)$$

상상의 일부를 취합시다 $(6)$ 그때:

$$ (E) = \left\{ \begin{array}{c} (3a-1)x - (4a +3b) = 0 \\ 4ax + (2a -4b) = 0 \end{array} \right. $$

하지만이 시스템에 대한 해결책은 없습니다 ... 예를 들어 첫 번째 방정식 $a = \frac13$ 그리고 두 번째 $a=0$그것은 모순입니다. 나는 계산을 세 번 확인했습니다 (따라서 정확하다고 생각합니다). 무엇이 잘못되었는지 이해할 수 없습니다. 그러나 무엇보다도 저는 이러한 불균일 한 미분 방정식 (다항식, 지수 및 삼각 함수 포함)을 푸는 방법을 실제로 파악할 수 없습니다. 모든 것이 너무 복잡해 보입니다.

이것이 하나가 아니라 큰 게시물이라는 것을 알고 있지만 몇 가지 질문이 발생하므로 명확성을 위해 초기 질문 인 이 미분 방정식을 해결하는 방법을 고수하겠습니다.

추신 : 물론 다른 답변은 높이 평가됩니다. :)

건배!

답변

5 Aryadeva Aug 19 2020 at 23:38

힌트: $$y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$$ 이 미분 방정식은 다음과 같습니다. $$(ye^{-x})''=xe^{-2x} \cos x$$ 두 번 통합하십시오.

편집 1 : $$y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$$ 곱하기 $e^{-x}$ $$e^{-x}(y''-2y'+y)=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$e^{-x}(y''-y')-e^{-x}(y'-y)=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y')'-(e^{-x}y)'=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y'-e^{-x}y)'=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y)''=xe^{-2x}\cos(x)$$

1 enzotib Aug 19 2020 at 23:54

나는 형태의 특정 솔루션을 시도 할 것입니다 $$ y_p(x)=e^{-x}[(ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x] $$

Dimitris Aug 20 2020 at 02:37

매개 변수 및 Wronskian의 변형

우리는 보완의 일반적인 해결책을 알고 $\boxed{y_0(x) = c_1e^x+c_2xe^x } \quad(1)$

정리

ODE를 보자 $a_ny^{(n)} +a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' +a_0y =b$ 그리고하자 $\{y_1,y_2\}$ODE의 기본 솔루션 집합입니다. 그런 다음 ODE 의 부분 솔루션 은 다음과 같습니다.$$ y_p(x)=\sum_{i=1}^{2}y_i(x)\int_{x_0}^{x} \frac{W_i(y_1,y_2)(t)}{W(y_1,y_2)(t)}\cdot \frac{b(t)}{a_n(t)} dt$$ 어디 $W$ 나는 Wronskian 행렬식

고르다 $x_0 =0$.

$ W(y_1,y_2)(t) = \left| \begin{array}{ccc} y_1 & y_2 \\ y^{'}_1 & y^{'}_2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} e^t & te^t \\ e^t & e^t(1+t) \end{array} \right| = e^{2t}(1+t) - e^{2t}t = e^{2t} $
$ W_1(y_1,y_2) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & te^t \\ 1 & e^t(1+t) \end{array} \right| = -te^t $
$ W_2(y_1,y_2) = \left| \begin{array}{ccc} e^t & 0 \\ e^t & 1 \end{array} \right| = e^t$

더욱이 $a_n(t) = 1$ 과 $b(t) = te^{-t}cos(t)$

따라서 부분 솔루션은 다음과 같습니다.

$$ y_p(x)=\sum_{i=1}^{2}y_i(x)\int_{0}^{x} \frac{W_i(y_1,y_2)(t)}{W(y_1,y_2)(t)}\cdot \frac{b(t)}{a_n(t)} = \\ e^x \int_{0}^{x} \frac{-te^t}{e^{2t}}\cdot te^{-t}cos(t) dt + xe^x \int_{0}^{x} \frac{e^t}{e^{2t}}\cdot te^{-t}cos(t) dt (1) $$