이 다항식은 어떻게 축소됩니까? $\mathbb{Z}[x]$ [복제]

Question

이 질문은 내 추상 대수 퀴즈에서 물었고 교수님이 대답했지만 내 대답은 틀 렸습니다.

질문 : $x^4+x^2 +1 =0$ 환원 할 수없는 $\mathbb{Z}[x]$?

루트 $x^4+x^2 +1 =0$ 존재하지 않는다 $\mathbb{Z}$ 항상 + ve이고 $x^4+x^2 +1 =0$ 돌이킬 수 없다 $Z_2$그래서 그것은 합리적으로 환원 할 수없고 따라서 정수에 대해서는 환원 할 수 없습니다. 그러나 대답은 줄일 수 있다는 것입니다!

내가 저지른 실수와 올바른 방법이 무엇인지 말씀해 주시겠습니까?

Answer 1

다항식에 근이 없으면 환원 할 수 없다는 것은 사실이 아닙니다. 명확한 예는$(x^2 + 1)(x^2 + 4)$ 에 $\mathbb{Z}[x]$ (또는 $\mathbb{R}[x]$). 차수의 다항식에만 적용됩니다.$\leq 3$.

그럼에도 불구하고 의견에서 언급했듯이 그것이 축소 불가능하다는 것은 사실이 아닙니다. $\mathbb{Z}$. 우리는 :$$ x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) $$