이 공동 PDF가 어떻게 작동하는지 이해하지 못함

Question

이 질문은 MIT 6.041 OCW에서 나왔습니다.

이 질문의 b 부분, 특히 어떻게 $f_X(x)$ 과 $f_{Y|X}(y|0.5)$ 계산됩니다.

내가 이해하는 한, 당신은 공동 PDF를 통합함으로써 한계 PDF를 얻습니다. $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

이것은 이미 많은 혼란을 야기합니다.

1. 다이어그램에 따라 두 개의 $f_{X,Y}(x,y)$: $1/2$ 과 $3/2$. 이 두 가지를 통합하면$\frac{1}{2}y$ 과 $\frac{3}{2}y$ 각각-그래서 어느 것이 $f_X(x)$? 그리고$f_X(x)$ 측면에서 $y$ 합법적인가?

2. 솔루션 상태 $f_X(x)$ 측면에서 $x$,하지만 통합하면 $f_{X,Y}(x,y)$ 측면에서 $y$, 우리는 어떻게 얻을 수 $x$?

솔루션 $f_{Y|X}(y|0.5)$더 이상합니다. 포인트에 면적이 없기 때문에 개별 포인트가 제로 PDF를 얻지 못합니까? 그래서 어떻게 이야기 할 수 있습니까?$X=0.5$ 우선, 확률이 0 인 사건을 분모로 두는 것은 말할 것도 없습니다.

Answer 1

문제의 적분은 역도 함수가 아니라 한정 적분입니다. 예를 들면

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

을 고려하면

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

우리는 $0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

그리고 $1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

다른 사람들에게는

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

과

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

마지막 평가에는 부분 상수 함수의 통합이 필요합니다.