이 이변 량 정적분을 평가할 수없는 이유는 무엇입니까?

Question

x 함수를 직접 사용하여 다음 이변 량 정적분의 정확한 값을 찾고 싶습니다.

reg = ImplicitRegion[x^2 + y^2 <= 1 && x >= 0, {x, y}];
(* the answer should be π/2*Log[2] *)
Integrate[(1 + x*y)/(1 + x^2 + y^2), Element[{x, y}, reg]]

이 이변 량 적분은 복잡하지 않지만 위의 공식은 그대로 반환됩니다. 문제의 위치와 수정 방법을 알고 싶습니다.

NIntegrate[(1 + x*y)/(1 + x^2 + y^2), Element[{x, y}, reg]]
(*1.08879304515*)

Answer 1

Integrate[(1 + x*y)/(1 + x^2 + y^2), {x, y} ∈ Disk[{0, 0}, 1, {-π/2, π/2}]]

Answer 2

대체 지역 사양을 사용할 수 있습니다.

reg = RegionIntersection[Disk[], HalfPlane[{0, 0}, {0, 1}, {1, 0}]];
Integrate[(1 + x y)/(1 + x^2 + y^2), {x, y} ∈ reg]
   1/2 π Log[2]

또는 극좌표로 전환 :

Simplify[((1 + x y)/(1 + x^2 + y^2) /. Thread[{x, y} -> r AngleVector[θ]])
         Det[D[r AngleVector[θ], {{r, θ}}]]]
   (r + r^3 Cos[θ] Sin[θ])/(1 + r^2)

Integrate[(r + r^3 Cos[θ] Sin[θ])/(1 + r^2), {r, 0, 1}, {θ, -π/2, π/2}]
   1/2 π Log[2]