이 "증명"에서 3 = 0이라는 오류는 어디에 있습니까? [복제]
나는 이 비디오 (아래 링크)를 보았다.$3=0$. 다음과 같이 진행됩니다.
허락하다 $x$ 해결책이되다 $$x^2+x+1=0 \tag1$$
이후 $x\neq0$, 우리는 양쪽을 다음과 같이 나눌 수 있습니다. $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
에서 $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
대용품 $x+1=-x^2$ 으로 $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ 대용품 $x=1$ 으로 $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
비디오에 주어진 설명은
대체 $x+1=-x^2$ 으로 $(2)$ 외부 솔루션을 만듭니다. $x=1$ 이것은 원래 방정식에 대한 해결책이 아닙니다. $(1)$, $x^2+x+1=0$.
방정식$(1)$ 과 $(2)$ 해결책이있다 $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, 그러나 대입 후 방정식 $(3)$ 이 두 가지 솔루션이 있고 $1$.
기본적으로 문제가 $x+1=-x^2$,하지만 이것이 실제로 문제인지 확실하지 않습니다. 대체 전의 모든 것이 올바른 경우 대체가 어떻게 문제를 일으킬 수 있습니까?
댓글을 읽은 후 많은 사람들이 진짜 문제가 $(4)$, 때문에 $1=x^3$ 또한 의미 할 수 있습니다 $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. 이러한 솔루션을 고려하지 않는 것이 "증거"문제입니다. 또한 결론을 내리기 전에 이러한 솔루션을 확인하고 올바른 솔루션을 "선택"해야합니다.
그래서, 제 질문은 위의 "증거"의 문제가 무엇입니까? $3=0$?
비디오 : "Prove"3 = 0. 실수를 발견 할 수 있습니까? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.
답변
문제는 $x^3=1$ 그것을 의미하지 않습니다 $x=1$. 방정식$x^3-1=0$ 세 가지 가능한 뿌리와 뿌리가 있습니다 $x=1$ 추가로 생성 된 루트입니다.
방정식의 구성원을 그 자체로 대체하면 외계 솔루션을 도입 할 수 있습니다.
예 $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
초기 방정식도 유지한다면 그렇게 할 수 있습니다.
안전한 작업은 다음과 같습니다.
두 회원 모두에게 용어 추가;
두 구성원 모두 0이 아닌 요소를 곱합니다.
두 구성원 모두에 역변환을 적용합니다.
다른 모든 작업 (예 : 두 구성원을 제곱)은주의해서 수행해야합니다.
대체는 돌이킬 수없는 단계이기 때문에 외부 뿌리를 유발할 수 있습니다. 즉,$x^2 + x + 1 = 0$, 그러면 우리는 $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$, 그리고 대체로 $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ 그러나 그 반대는 사실이 아닙니다. $-x^2 + 1/x = 0$, 그럴 필요는 없습니다. $-x^2 = x+1$, 그 뒤에 $x^2 + x + 1 = 0$.
실제로 이것이 솔루션이 $x = 1$ 적합하다 : 만족한다 $-x^2 + 1/x = 0$, 하지만 $-x^2 = x+1$.
또 다른 관점 : 대체는 다음 곱셈으로 요약 할 수 있습니다. $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ 곱하기 $x^2 + x + 1$ 다른 요인에 의해 다항식에 또 다른 근이 주어졌습니다.
허락하다 $x\ne0$. 그때
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$사실이다. 그러나
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$아니다* ! 논리적 결과는 왼쪽에서 오른쪽으로 만 나타납니다.
플롯에서 볼 수 있듯이 $-x^2$ 과 $-\dfrac1x$ 교차하지 않지만 $x+1$. 위의 두 가지 RHS를 동일시하면 정보를 잃고 해결되지 않는 문제가 발생합니다.
* 생각해 보면
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ 도대체 무엇이 $c$.