이 세트를 어떻게 정의 할 수 있습니까?

Question

허락하다 $A_1,..., A_n$세트의 가족이어야합니다. 이제 다음과 같이 설정하고 싶습니다.

세트 $B$ 모든 집합에서 가능한 모든 요소 조합의 조합으로 구성됩니다.

예 : Let $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ 과 $A_3 = \{\{4\}\}$. 그런 다음 세트$B$ 해야한다:

$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$

제 질문은 어떻게이 세트를 공식적으로 작성할 수 있습니까?

내 접근 방식은 다음과 같습니다.

• 먼저 결합하려는 모든 요소를 ​​동일한 세트에 넣습니다. $\bigcup\limits_n A_n$

• 그런 다음 전원 세트를 가져 갑시다. $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
  이 파워 세트에는 우리가 원하는 모든 조합이 있습니다.

이제 우리는 $B$ 같이:

$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$

내 질문은 내가 너무 복잡합니까? 이 세트를 정의하는 다른 방법이 있습니까?

Answer 1

$\bigcup_nA_n$ 요소를 그릴 수있는 모든 세트의 모음이므로 $\bigcup\bigcup_nA_n$ 구성원을 구성하는 데 사용할 수있는 모든 요소의 모음입니다. $B$; 당신의 예에서

$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$

과

$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$

분명히 당신은 비어 있지 않은 부분 집합만을 원합니다. $B$, 그래서

$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$