이 시퀀스가 ​​균일하게 수렴하지 않는 이유는 무엇입니까?

Aug 16 2020

이 문제에서 $f_n(x)$점 단위로 수렴하지만 균일하게 수렴하지는 않습니다. 일방적으로 수렴하지 않는 이유에 대한 설명도 제공됩니다. 그러나 나는 그것을 이해할 수 없습니다. 아래 정리를 사용하면 그 한계를 얻습니다.$f_n - f = 0$ 누군가 시퀀스가 ​​균일하게 수렴하는 이유에 대해 더 자세한 답변을 줄 수 있습니까?

답변

3 JoséCarlosSantos Aug 15 2020 at 22:58

이후 $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, 당신은 $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. 다시 말해,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$와, 특히, 그것은 것입니다 하지 그 사실$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. 따라서 수렴은 균일하지 않습니다.

1 quantenstau Aug 15 2020 at 23:00

먼저 포인트 별 한계 를 결정해야 합니다. 허락하다$x\in[0,1]$. 에 대한$n>1/x$, $f_n(x)=0$, 따라서 점별 한계는 $0$.

설명에서 알 수 있듯이 $\|f_n\|_\infty=n/4$. 그러므로,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ 그리고 당신이 인용 한 정리를 사용하여, 최고 발산의 한계는 다음과 같습니다. $f_n$ 균일하게 수렴 하지 않습니다 .

mpandey Aug 16 2020 at 02:57

규범 (또는 일반 메트릭 공간) 공간에서 시퀀스 수렴의 정의에 따라 시퀀스 (fn)는 f로 수렴 할 수 없습니다. 엔.