이 예상 값이 올바르게 평가 되었습니까?

Question

허락하다 $p$ 동전의 아래쪽에 나타날 확률 $q=1-p$동전의 위쪽에 나타날 확률입니다. 우리는 순간에 동전을 던져$N$마지막 두 번의 던지기에서 두 번 아래쪽으로 나옵니다. 무작위 변수의 기대 값을 찾아야합니다.$N$ (예 : $N=3$ 동전의 아래쪽이 두 번째와 세 번째 던지기에 나타납니다.)

내 솔루션 :

물론 이산 사례에 대한 기대 값의 정의를 사용했습니다. $$EX=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i p_i. $$ 랜덤 변수의 경우 $N$ 우리는 $EN=1\cdot 0 +2\cdot p\cdot p+3\cdot q\cdot p\cdot p+4\cdot 1 \cdot q\cdot p \cdot p+\ldots=\sum\limits_{i=2}^{\infty}i q p^2 .$

이 추론이 맞다면 내가받은 시리즈를 어떻게 든 평가할 수 있을까? 최종 해결책인지 모르겠습니다.

Answer 1

언급했듯이 귀하의 접근 방식은 좋지 않습니다.

힌트 :

허락하다 $Y$ 첫 번째 위쪽에 도달하는 데 필요한 시행 횟수를 나타냅니다.

그때:$$\mathbb EN=$$$$P(Y=1)\mathbb E[N|Y=1]+P(Y=2)\mathbb E[N|Y=2]+P(Y>2)\mathbb E[N|Y>2]\tag1$$ 여기:

• $\mathbb E[N|Y=1]=1+\mathbb EN$
• $\mathbb E[N|Y=2]=2+\mathbb EN$
• $\mathbb E[N|Y>2]=2$

(이유를 보십니까?)

총알 평등에 언급 된 정보와 결합 $(1)$ 당신이 찾을 수 있습니다 $\mathbb EN$.