이다 $C^{*}$-대수 QFT를 공부하는 가장 현대적인 방법?
나는 QFT 또는 $C^{*}$-대수,하지만 QFT의 기초를 배우려고합니다. 내가 아는 모든 책 / 논문 및 기타 자료에서 QFT는 주로 많은 기능 분석 및 분포 이론을 사용하여 연구되지만 일부 대수 구조도 사용되고 있음을 알고 있습니다.$C^{*}$-대수는 가장 현대적인 도구 인 것 같습니다. 그렇다면 저와 같은 경험이없는 학생은 QFT 및 통계 역학에 대한 이러한 접근 방식에 대해 무엇을 알아야합니까? 의 역할은 무엇입니까$C^{*}$-대수학 및 그 이론의 다른 대수 방법? 그들이 더 잘 맞는 문제는 무엇입니까? QFT를 공부하고 싶다면 배워야하나요?$C^{*}$-대수학? 대수적 방법이 잘 맞지 않는 문제가 있습니까? 두 가지 접근 방식이 유익한 문제가 있습니까? 이러한 대수적 구성을 모르면 무엇을 잃을까요?
ADD : 저는 엄격한 통계 역학으로 작업하지만 QFT를 배우려고합니다. 왜냐하면 ... 음,이 두 가지 관련 영역이 어느 정도 수준이기 때문입니다. 그러나 QFT에 대해 무엇을 또는 얼마나 배워야하는지 아직 모릅니다. 나는 기능 분석 및 분포 이론에 대한 배경 지식이 있지만$C^{*}$-대수학. 경험이없는 학생으로서 일반적인 그림을 얻는 것이 매우 유용 할 것입니다. 즉, QFT에서 해결하려는 문제는 무엇이며 이러한 각 접근 방식은 어디에 적용됩니까? 이 도구들은 각각 다른 종류의 문제 나 이론의 다른 하위 영역에 적용 할 수 있다고 생각하지만 확실하지는 않습니다.
답변
제 박사 과정에서는 C *-대수를 상당히 많이 사용했기 때문에 거기에서 전문 지식을 주장 할 수 있지만 QFT의 전문가는 아닙니다. 그것이 내 대답의 주요 관점이 될 것입니다.
이 논의를위한 좋은 출발점은 연산자 대수와 양자 역학의 기초적인 결과 인 Stone-von Neumann 정리입니다. 설정은 기본적으로 하이젠 베르크 불확도 원리이며, 이는 위치 측정 작업이$x$ 그리고 추진력 $p$ 양자 시스템은 통근하지 않습니다.
$$[x,p] = 2\pi i h$$
초기 역사에서 양자 역학에 관한 중요한 수학적 질문은 다음과 같습니다.$x$ 과 $p$? 물리학 자들은 그들이 힐베르트 공간에서 자기 결합 연산자가되기를 원하지만, 경계 연산자 쌍이이 속성을 가지고 있지 않다는 것을 엄격하게 증명할 수 있습니다. 이 결과는 Lie 대수의 표현 이론에 속합니다. 본질적으로 두 개의 생성기가있는 Lie 대수이며 위의 관계는 Hilbert 공간에서 경계자가 인접 연산자에 의한 표현이 없습니다.
Stone과 von Neumann의 아이디어는 Lie 대수보다는 Lie 그룹에 초점을 맞추는 것이 었습니다. 위의 관계는 시간 진화 연산자 간의 다음 관계 중 0에서 미분입니다.$U(t)$ 과 $V(s)$:
$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$
그런에 의해 생성 된 거짓말 그룹 $U$ 과 $V$이 그룹 은 하이젠 베르그 그룹 이라고 불리며, Stone-von-Neumann 정리는이 그룹이 힐베르트 공간에서 단일 동등성 (그리고 여기에 들어 가지 않을 형용사들)까지 고유 한 단일 표현을 가지고 있다고 주장합니다. 이것은 이론의 하이젠 베르크와 슈뢰딩거 그림을 하나의 공리 집합으로 통합하는 기본적인 양자 역학에 대한 좋은 토대를 제공합니다.
더 복잡한 양자 시스템을 처리하려면 더 복잡한 관계를 만족하는 더 많은 연산자로 일반화해야합니다. 이 일반화가 작동하는 방법은 다음과 같습니다.
- 로컬로 압축 된 그룹으로 시작 $G$; 원래 Stone-von-Neumann 정리를 위해$G = \mathbb{R}$.
- 푸리에 변환은 결정 및 동형 $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$, 어디 $C^*(G)$ 그룹 C *-대수이고 $\hat{G}$ Pontryagin 듀얼입니다.
- 이러한 동형은 교차 곱 대수의 단일 표현과 동일합니다. $C_0(G) \rtimes G$.
- 이 C *-대수의 모든 irrep은 단일하게 동일합니다.
이제 우리는 입자가 많은 시스템에 대한 양자 역학을 가지고 있습니다. 하지만 QFT는 어떻습니까? QFT가 어려운 이유는 내가 이해하는 것처럼 Stone-von-Neumann 정리가 더 이상 사실이 아니기 때문입니다.
일반적인 양자 역학의 경우 고전적인 위상 공간은 유한 차원의 다양체입니다. 예를 들어, 단일 입자의 고전적인 위상 공간은 $\mathbb{R}^3$ 이다 $\mathbb{R}^6$. 그러나 양자 장 이론에서 위상 공간의 고전적 아날로그는 경로의 공간입니다.$\mathbb{R}^3$, 이것은 일종의 무한 차원의 다양체입니다. 이는 무한히 많은 정류 관계를 가진 무한히 많은 연산자와 해당 무한 차원 거짓말 그룹이 존재하는 한 훨씬 더 복잡한 표현 이론을 가지고 있음을 의미합니다.
이제 귀하의 질문에 답해 드릴 수 있습니다. 연산자 대수는 양자 역학을위한 멋진 모델을 제공하기 위해 어느 정도 발명되었습니다. 이 모델이 가진 좋은 속성, 즉 단일 동등성까지 단 하나의 실현 만이 있다는 것-은 더 이상 QFT에서 사실이 아닙니다. 따라서 QFT에서 많은 작업의 한 가지 (암시 적) 목표는 이러한 상황에 대처하고 더 나은 기반을 찾는 것입니다. C *-대수가 QFT에 대해 생각하는 가장 좋은 방법인지 아니면 가장 현대적인 방법인지는 모르겠지만-아마도 그렇지 않을 것입니다.하지만 학생이 시작하기에 좋은 곳은 우리가 할 수있는 합리적인 일반성으로 Stone-von-Neumann 정리를 배우는 것입니다. QFT의 부재에 대한 많은 어려움을 비난합니다.
다시 말하지만, 비전문가의 잠정적 대답 : 아마도 수학 물리학 / 연산자 대수학의 실제 제다이 마스터 인 누군가가 차임 할 것입니다.
고전적인 QM에서는 힐베르트 상태 공간에서 시작합니다. $H$, 그리고 거기에서 행동하는 특별한 유형의 연산자를 살펴봄으로써 $H$(simmetries의 경우 단일, 관찰 가능한 Hermitians). 따라서 어떤 의미에서 연산자 대수는 처음부터 바로 거기에 있지만 고전적인 QM에서는 기본 엔터티가 (양자) 상태이고 보조 엔터티가 프로세스 (연산자) 인 것처럼 보이고 느껴집니다.
그러나 나는 추상 연산자의 대수로 시작하여 악명 높은 Gelfand 이중성을 사용하여 일련의 상태를 모델링하는 의미에서 순서를 뒤집는 운동이라고 말하는 것이 타당하다고 생각합니다. 방금 스케치 한 것은 Algebraic Quantum Field Theory 에 대한 슈퍼마켓 채팅입니다 ( 여기 에서 응축수를 찾을 수 있습니다 ).
이유를 물어볼 수 있습니다. 확실하지 않지만 국가와 반대되는 과정을 향한 움직임이 의미가있는 것 같습니다.
- 수학적으로 (예를 들어 , Connes의 Non-Commutative Geometry 와 연결 되어 마치 유령이 아닌 비 교환 공간에 대한 함수의 대수 인 것처럼 비 교환 대수에 대해 직접 작업합니다). 대수는 고스트 공간의 토폴로지와 기하학을 포착하기에 충분하며 더 추상적 인 기계에도 적합합니다.
- 물리적으로. QM / QFT가 시스템 자체가 존재하는 세상이 아니라 프로세스 / 상호 작용에 관한 것이라는 인식이 높아지고 있습니다. 예를 들어 Rovelli의 Relational Interpretation을 참조하여 하나의 옵션을 인용하십시오.
부록 : 그렇다면 C * 대수는 QFT의 최신 도구입니까? 대답은 : 어떤 QFT를 염두에두고 계십니까? 예를 들어 Quantum Gravity에서 대답은 확실히 아니오입니다. 사람들은 더 높은 범주의 이론에서 이미 언급 된 비 교환 기하학, 태양 아래 거의 모든 것, 심지어는 더 많은 것까지 모든 종류의 좋은 것들을 가지고 놀아요.