이중 공간 내적과 표현이 단일 한 내적의 구별
모든 벡터 공간 $|\vec{v}\rangle$ 필드 위에 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$ 이중 공간을 포함하고 있으므로 이중 공간의 요소와 원래 벡터 공간을 식별하면 모든 벡터 공간에는 자연스럽게 이중 공간 내적이라고하는 내적이 장착되어있는 것 같습니다.
예를 들어 양자 장 이론에서 우리는 벡터 공간이 다음과 같이 표시 될 수있는 Poincare 그룹을 나타냅니다. $|p^{\mu},\sigma\rangle$ 어디 $\sigma$작은 그룹 인덱스를 나타냅니다. 물리적 가정없이 우리는이 공간에 이중 공간이 존재하고 이것이 원래 벡터 공간에 내적을 생성한다고 말할 수 있습니다.$\langle p,\sigma|p',\sigma'\rangle=\delta(p-p')\delta_{\sigma\sigma'}$. 이제 이것은 내부 제품이지만 반드시 Poincare 그룹의 표현이 단일 한 내부 제품은 아닙니다.
질문 : 다중 입자 상태의 경우 이중 공간 내부 곱이 \ begin {equation} \ langle \ lbrace p, \ sigma \ rbrace | \ lbrace p ', \ sigma'\ rbrace \ rangle = \ sum _ {\이라고 말하는 것이 맞습니까? text {프라이밍되지 않은 상태와 가능한 모든 프라이밍 상태 쌍}} \, \, \, \, \ prod _ {\ text {pairs}} \ delta (p_i-p_ {i ^ { '}}') \ delta _ {\ sigma_i \ sigma_ {i '}'} \ end {equation} 진폭에 의해 주어진 또 다른 뚜렷한 내적이 있습니다 : \ begin {equation} \ langle \ lbrace p, \ sigma \ rbrace | \ lbrace p ', \ sigma '\ rbrace \ rangle = \ delta (\ sum p-\ sum p') \ mathcal {M} (\ lbrace p, \ sigma \ rbrace, \ lbrace p ', \ sigma'\ rbrace) \ end {equation}우리는 Poincare 그룹의 대표가 두 내부 제품에 대해 단일화되기를 원합니다. TLDR : 이중 공간 내적과 우리의 표현이 단일화되기를 바라는 내적은 구별됩니까?
답변
이중 공간과 원래 공간을 구분하는 것은 내적 제품을 선택하는 것과 전적으로 동일합니다. 식별하는 방법은 무한히 많습니다.$V$ 와 $V^*$, 그래서 가능한 많은 내부 제품이 있습니다.
근거가 주어지면 ${\bf e}_a$ ...에 대한 $V$ 그리고 이중 기초 ${\bf e}^{*a}$...에 대한 $V^*$ 그런 ${\bf e}^{*a}({\bf e}_b)=\delta^a_b$, 당신은 자연스럽게 식별 할 수 있습니다 ${\bf e}_a$ 와 ${\bf e}^{*a}$. 물론이를 수행 할 수 있지만 기본 선택은 무한히 많으며 각각은 다른 식별과 다른 내적을 제공합니다. 양자 역학에서는 반 선형 단검지도를 선택하여 내적을 선택합니다.$\dagger :V\to V^*$ 어느 $\dagger: |n\rangle \mapsto (|n\rangle)^\dagger =\langle n|$. "을 식별하도록 선택하여$|p\rangle$"(모멘텀) 기반의 이중으로, 당신의 레시피는 특별한 내부 제품을 선택합니다.
이중 공간 내적 이라기보다는 이중 기저 내적을 말해야 한다고 생각합니다 .
당신은 그것을 확인할 수 있습니다 \begin{align} \hat {\cal L}_z= -i\frac{d}{d\varphi}\, ,\quad \hat {\cal L}_+= -e^{i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}+i\frac{d}{d\varphi}\right)\, ,\quad \hat {\cal L}_-= -e^{-i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}-i\frac{d}{d\varphi}\right)\, . \tag{1} \end{align} 다음과 동일한 정류 관계를 충족합니다. $\hat L_z, \hat L_\pm$. (1)의 연산자가 형식의 기능에 대해 작동한다고 가정합니다.$f_m(\varphi)=e^{i m\varphi}/\sqrt{2\pi}$.
"자연적인"내부 제품은 $\langle{m}\vert{m'}\rangle= \int d\varphi \, e^{-i m\varphi}e^{i m'\varphi}/(2\pi)$ 그러나 이것을 사용하면 매트릭스 표현이 $\hat {\cal L}_x$ 과 $\hat{\cal L}_y$ 주에서 행동 $f_{m}(\varphi)$ 에르 미트 행렬이 아니므로 단일 표현으로 지수화하지 않습니다.
즉, 국가에 대한 자연스러운 "내부 제품"이 단일 표현을 생성 할 것이라고 믿을 이유가 없습니다.
미분 연산자에 의한 "일반적인"표현이 1- 토러스가 아니라 작동하기 때문에 (1)을 불편하게 만드는 것은 어렵지 않습니다. $S^2/U(1)$(구형 고조파); 일종의 좌표 기반 표현을 갖는 것은 직관적으로 이상합니다.$SU(2)$ 하나의 각도에만 의존합니다.
컴팩트 그룹의 경우 (예 : $SU(2)$위)에서 말할 수있는 것은 (1)의 행렬 표현이 (유사성 변환에 의해) 단일 표현과 동등하다는 것입니다. 유사성 변환을 찾는 체계적인 방법이 있습니다. 압축되지 않은 그룹의 경우 이러한 동등성을 설정하는 것이 더 섬세합니다.
다음 예는 그룹의 표현이 단일화되어야하는 내적이 반드시 이중 공간 내적과 일치하는 것은 아니라는 사실을 보여주는 것이 맞다고 생각하지만 여전히 피드백에 감사하겠습니다.
고려하다 $(\frac{1}{2},0)$ 표현 $SL(2,\mathbb{C})$. 이것은 2 차원 복소 벡터의 공간에 작용합니다.$\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$. 이제이 벡터 공간은 자연스럽게 이중 공간과 짝을 이룹니다.$(a^{\star},b^{\star})$따라서 원래 벡터 공간에는 \ begin {equation} \ bigg (\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} c \\ d \ end {pmatrix}와 같은 내부 곱이 있습니다. \ bigg) _ {\ text {이중 공간 내적}} = ac ^ {\ star} + bd ^ {\ star} \ end {equation} 이제 표현은이 내적에 대해 단일하지 않습니다. 부스트와 관련된 거짓말 대수 요소는 Hermitian이 아닙니다. 그러나이 벡터 공간에는 단일 한 내적, 즉 두 벡터의 행렬식이 존재합니다 \ begin {equation} \ bigg (\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix } c \\ d \ end {pmatrix} \ bigg) _ {\ text {Determinant inner product}} = ad ^ {\ star} -bc ^ {\ star} \ end {equation} 따라서 표현은 단일 공간 내부 제품과 일치 할 필요가 없습니다.
편집 1 : Mike Stones의 응답을 고려하여 다음과 같이 내가 말한 내용을 수정할 수 있습니다. 벡터 공간과 이중 공간 사이의 연관성을 다음과 같이 선택하면 행렬식 내적을 이중 공간 내적로 볼 수 있습니다. \ begin {equation} \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix} \ rightarrow \ bigg (b ^ {\ star},-a ^ {\ star} \ bigg) \ end {equation}