일반적으로 등가 클래스로 설명되는 것을 보는보다 자연스러운 방법
일반적으로 그래프는 관계가있는 집합으로 정의됩니다. 하지만 세 개의 꼭지점에 대한 완전한 "그래프"와 같은 구체적인 "그래프"를 생각할 때 그런 용어로 생각하지 않습니다. 삼각형 만보고 꼭지점에 대한 이름이 없습니다. 나를 위해 구별 할 수 없습니다. 정점에 레이블을 지정하려면 정보를 추가해야합니다. 이러한 객체를 공식적으로 연구하려면 일반적으로 동 형사상에서 일부 정점 세트에서 그래프의 등가 클래스로 정의합니다. 그러나 정점 세트를 그래프 크기까지 자연수로 제한하더라도이 구조는 놀랍게도 "큰"객체 (복잡한 요소가 많은 세트)를 생성합니다.
목걸이와 Lyndon 단어의 경우와 같이 등가 클래스에서 특별한 개체를 선택할 수 있습니다. 그래프 동형 클래스에 대해이 작업을 수행하는 표준 방법을 알지 못하지만 다음과 같이 그래프의 텍스트 표현을 정의 할 수 있습니다. 십진수로 주어진 가장자리로 연결된 정점 쌍을 나열하고 일부 클래스의 요소를 제공하는 사전 식으로 가장 작은 표현을 취합니다. 궁극적으로 우리는 이러한 클래스와 자연수 사이의 bijection을 정의 할 수 있으며 클래스로 보이는 것이 실제로 자연수라고 말할 수 있습니다 (이 접근법은 또한 더 큰 세트로 bijecting하여 무한 그래프로 일반화합니다). 그러나 이러한 방법은 "문제의 핵심을 파악"하지 못하는 것 같습니다. 아마도 문제는 이러한 방식으로 표현 된 그래프를 사용하여 계산적으로 "무엇이든 수행"하는 것입니다. 예를 들어 에지를 추가하거나 심지어 마이너를 정의하려면 기본적으로 먼저 다른 형식으로 변환해야합니다. 또한, 특별한 객체의 선택은 적어도 여기서 그래프에 대해 언급 한 것들보다 다소 임의적입니다.
이것에 대해 생각하면서, 적어도 세트 이론에서 이러한 문제가없는 특별한 종류의 객체가 있다는 것을 알아 챘습니다. 각 노드의 자식이 모두 고유 한 뿌리 나무입니다. 이러한 객체는 문자 그대로 세트로 표현 될 수 있지만 "세트 이론이지만 각 세트는 빨간색 또는 파란색의 두 가지 버전으로 다른 세트에서 생성 될 수 있습니다"와 같은 다른 형식 시스템에서는 더 복잡해야한다고 상상할 수 있습니다. 더 많은 종류의 물체를 그렇게 간단하게 표현할 수있는 시스템이 있을까요?
물론 중요한 것은 필요한 개념의 "구현"이 있다는 것 뿐이라고 말할 수 있으며, 결국 수학자들은 추악한 소스 코드에 관심이 없다는 것이 잘 알려져 있습니다. 아마도 인생에서 가장 중요한 것은 아니지만 내가 선택권이 있다면 모든 것이 멋지고 예쁘다면 더 좋을 것입니다. 아니면 내 모든 직관이 틀렸을 수도 있고, 예를 들어 그래프 동 형사상 클래스가 그래프에 대한 이차적 인 개념일까요?
편집 : 세트가 아닌 객체 유형 중 하나 이상에 대해 세트 이론에서 멋진 표현을 찾을 수 있습니다. 알파벳 순열까지의 단어는 파티션이 될 수 있습니다. 다른 사람이 있습니까?
답변
귀하의 질문에 대한 문제를 올바르게 이해했는지 확실하지 않아 내 답변이 관련성이 약할 수 있습니다. 그러나 나는 그것이 당신에게 유용 할 수 있기를 바랍니다.
동형 객체의 등가 클래스에 대한 비전에 대해 말할 때 구조 를 의미한다고 생각 합니다 . 그것은 주어진 속성을 만족시키는 집합 (그리고 아마도 그것의 부분 집합 등)에 대한 관계의 패밀리 인 수학의 기본 개념으로 볼 수 있습니다. Nicolas Bourbaki는 논문 [Bou]에서이 개념을 기반으로 수학적 대상의 세계를 체계화하는 프로그램을 제안했습니다. 조직화 원칙은 단순한 것에서 복잡한 것으로, 일반에서 특정으로가는 구조의 계층 구조입니다. 이 방향은 수학의 역사적 발전으로 거슬러 올라갑니다. 수학적 물건, 아이디어는 처음에 우리 인생 경험의 물건, 예를 들어 10 개의 막대기 나 둥근 접시의 속성이라고 생각합니다. 나중에 이러한 속성은 객체에서 추상화되어 이상화 (예 : 숫자 10 또는 디스크 개념) 한 다음 일반화 (예 : 자연수 개념) [Ale].
일하는 수학자로서 저는 보통 구체적인 모델을 다룹니다. Bourbaki는 다음과 같이 동의합니다.“수학자는 기계처럼 작동하지도 않고 움직이는 벨트 위에서 일하는 사람도 아닙니다. 우리는 그의 연구에서 수행 된 근본적인 역할을 대중적인 감각 직관이 아닌, 그가 가지고있는 것처럼 보이는 정상적인 행동에 대한 일종의 직접적인 점 (모든 추론보다 앞서)에 의해 지나치게 강조 할 수 없습니다. 수학적 존재를 기대할 수있는 권리, 오랜 인정으로 그를 현실 세계의 존재들과 친숙하게 만들었습니다.” [Bou]
하지만 직관을 검증해야 할 때는 등가 클래스 및 기타 형식적인 항목을 다루는 인수와 같은 마술을 사용해야합니다. 번거롭고 비 자연적 일 수 있습니다 (예를 들어 제가 기억하는 것처럼$1$, Bourbaki가 제공하는에는 수천 개의 기호가 필요합니다). 그러나 이것은 엄격함의 대가입니다.
참고 문헌
[Ale] Aleksandr Aleksandrov,“ 수학 : 그 내용, 방법, 의미 ” 에서 수학의 일반적인 비전 , vol. 1, 편집. : AD Aleksandrov, AN Kolmogorov, MA Lavrent'ev, Publ. 소련 과학 아카데미, 모스크바, 1956, 러시아어 ( "Общий взгляд на математику"), 5–79.
[Bou] Nicolas Bourbaki, L' Architecture des mathematiques, "Les grands courants de la pensée mathématique", F. La Lionnais (Cahiers du Sud, 1948, 35–47). 공인 영어 번역 . 러시아어 번역 .
나는 이것에 대한 내 생각을 아래에 추가 할 것이지만 이것은 다소간 @ antkam-s 코멘트의 정교함입니다.
집합 이론을 기초로하여 수학에서 작업하는 대부분 (그러나 전부는 아님)은 다음 프레임 워크에 적합 할 수 있습니다.
- 이해하고 싶은 현실 세계의 현상을 찾아보세요.
- 자연스러운 방식으로 세트로 모델링하십시오.
- 불필요한 세부 사항을 필터링하십시오.
예를 들어, 카디널리티의 개념을 이해하려면 세트를 객체로 취하고 bijections로 모드를 지정하면됩니다. 네트워크의 측면과 일부 유형의 상호 작용을 이해하기 위해 그래프를 가져 와서 그래프 동형으로 모딩합니다. 대칭$\rightarrow$ 여러 떼 $\rightarrow$ 그룹 동형, 공간 $\rightarrow$ 위상 공간 $\rightarrow$ 동종 성 및 목록은 계속됩니다.
이제는 "필터링"단계에서 많은 복잡성이 발생하는 경우가 종종있는 것 같습니다. 다른 모델을 사용하거나 집합 이론과는 완전히 다른 기초 위에 우리의 이론을 구축함으로써 이것을 고치는 것을 생각할 수 있습니다.
그러나 여기에 문제가 있습니다. 복잡성은 실제로 필터링 단계에 내재 된 것이 아니라 우리가 모델링하려는 현상에 내재되어 있습니다. 네트워크는 복잡하고 대칭은 복잡하며 공간은 복잡합니다. 복잡성이 형식화 프로세스의 다른 부분에 있도록 변경 될 수 있지만 일반적으로 벗어날 수는 없습니다. 1
이 가혹한 2 가지 현실을 감안할 때 초기 표현 (및 기본 이론)을 단순하게 유지하고 필터링 단계 뒤에있는 복잡성을 숨겨야하는 좋은 이유가 있습니다. 기초는 합리적으로 표현적이고 사용하기 쉬워야합니다. 왜냐하면 우리는 그것을 모든 종류의 것들을 모델링하는 데 사용하기 때문이며, 집합 이론은 이러한 점에서 꽤 성공적인 것 같습니다 (하지만 기초에 대한 현재 생각에 대해 많이 알지 못합니다. 내 말을 받아들이지 마십시오). 초기 표현을 단순하게 유지하면 객체의 공식적인 조작 (가장자리 추가 등)에 엄청난 도움이 될뿐만 아니라 다른 객체와 수학 영역을 더 쉽게 연결할 수 있습니다. 약간 어리석은 예이지만 양식 집합에 대한 카디널리티 만 정의하면$\{1,\dots,n\}$, 카디널리티의 개념은 다른 모든 수학 영역에서 훨씬 덜 유용 할 것입니다. 그 이유는 단순히 더 적은 경우에 적용되기 때문입니다. 유사하게, 그룹과 그래프의 동형 클래스 만 다루었다면 Cayley 그래프를 정의하는 것은 아마도 상당히 어려울 것입니다.
요약하자면, 수학자들은 "추악한 소스 코드"에 신경을 씁니다. 그러나 문제가 충분히 복잡 할 때 항상 "추악함"이 수반되는 것처럼 보입니다. 문제는 그것이 나타나는 위치입니다. 결국 소스 코드와 마찬가지로 아름다움은 유용성과 모듈성보다 그 자체로 덜 중요합니다.
1 여기에 악마가 세부 사항에 있다는 농담이 숨겨져 있지만 찾을 수 없습니다.
2 물론 이것은 실제로 "가혹한"현실이 아닙니다. 우리가 연구하는 것이 복잡하지 않으면 빠르게 성장할 것입니다. 공부하는 것이 지루합니다.
편집 : 또한 이러한 문제를 어느 정도 회피하는 다른 철학이 있다고 덧붙여 야합니다. 모델링 현상의 핵심은 객체를 원시적으로 취하는 것이 아니라 객체가 서로 상호 작용할 수있는 방식 일 수 있습니다. 이것은 범주 이론의 관점이며, 일부 수학 영역에서 놀랍도록 강력한 아이디어로 밝혀졌습니다. 이 경우 개체의 "구현"은 실제로 중요하지 않습니다. 사실, 범주 이론의 핵심 사항은 표면적으로 매우 다르게 보이는 두 모델이 동일한 현상의 두 "구현"일 수 있다는 것입니다.