일부 행렬의 행렬식에 대한 예상치 못한 단순한 패턴
편집 : "스포일러"
꽤 장황한 질문이기 때문에 여기에 빠른 스포일러가 있습니다. 다음은 왜 사실입니까?
$$\det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0& 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = \dots $$
매트릭스 고려 $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\,.$$ 쉽게 평가할 수 있습니다. $\det A = 4$.
일반적으로 주어진 것을 (직접 계산으로) 쉽게 보여줍니다. $x\in\mathbb{R}$ 및 정의 $$A(x) = \begin{pmatrix} x-1 & x & x+1 \\ x & x-1 & x \\ x+1 & x & x-1\end{pmatrix}$$ 그때 $\det A(x) = 4x$.
흥미로운 사실은 이러한 행렬이 행렬식이 불변하는 방식으로 "확장"될 수 있다는 것입니다. 또한 더 큰 클래스의 행렬에 대해 행렬식과 관련된 "단순한"규칙적인 패턴이있는 것 같습니다.
몇 가지 표기법을 소개합니다 ...
먼저 표기법을 소개해야합니다. 허락하다$\mathbf{c} = \{c_1,c_2\dots c_n\}$. 나는 표시 할 것이다$T(\mathbf{c})$ 그만큼 $n\times n$ 주 대각선과 상위 대각선이 계수로 제공되는 대칭 Toeplix 행렬 $c_1\dots c_n$. 내 말은$$T(\{c_1,c_2,c_3,c_4\}) = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 & c_4\\c_2 & c_1 & c_2 & c_3 \\ c_3 & c_2 & c_1 & c_2 \\ c_4 & c_3 & c_2 & c_1 \end{pmatrix}\,.$$
우리가 전화하면 $\mathbf{v}(x) = \{x-1,x,x+1\}$, 다음 $A(x) = T(\mathbf{v}(x))$.
마지막으로 $n$-차원 벡터 $\mathbf{c} = \{c_1\dots c_n\}$, 내가 전화 할게 $\mathbf{c}^k$ 그만큼 $(k\cdot n)$결합하여 얻은 차원 벡터 $k$ 사본 $\mathbf{c}$. 예를 들면$$\{c_1,c_2,c_3,c_4\}^3 = \{c_1,c_2,c_3,c_4,c_1,c_2,c_3,c_4,c_1,c_2,c_3,c_4\}\,.$$
주요 질문
나는 처음에 $\det A(x) = 4x$. 위의 표기법으로$\det T(\mathbf{v}(x)) = 4x$. 실제로 모든 양의 정수에 대해 (적어도 내가 Mathematica로 시도한 것에 대해서는) 사실 인 것 같습니다.$k$ $$\det T(\mathbf{v}^k(x)) = 4x\,.$$ 이 결과는 $k$,하지만 조금 고통스러운 것 같습니다. 나는 그렇게 깔끔한 결과로 보이는 것에 대한 간단하고 깨끗한 증거를 기대할 것입니다.
무슨 일이 일어나고 있고 왜 결정자가 그렇게 간단한 지에 대한 아이디어가 있습니까?
조금 더 나아가 ...
일이 너무 간단하다는 것을 알게 된 $\mathbf{v}(x)=\{x-1,x,x+1\}$, 제가 가장 먼저 시도한 것은 $\mathbf{v}$. 이제 고려해 봅시다$T(\{x-2,x-1,x,x+1,x+2\}^k)$. 안타깝게도이 경우 상황이 훨씬 더 복잡해집니다. 에 대한$k=1$ 결정자는 $16 x$. 하지만$k=2$ 이것의 $113288 x$, for $k=3$ $65157184 x$등등. 여기서 상황은 분명히 훨씬 더 복잡합니다.
하지만 ... 정의합시다 $\mathbf{w}(x) = \{x+2,x-1,x,x+1,x-2\}$. 그러면 결정자의 순서는 매우 규칙적인 것처럼 보입니다.
\begin{align} &\det T(\mathbf{w}(x)) = 16 x\\ &\det T(\mathbf{w}^2(x)) = -8 x\\ &\det T(\mathbf{w}^3(x)) = 0\\ &\det T(\mathbf{w}^4(x)) = -8 x\\ &\det T(\mathbf{w}^5(x)) = 16 x\\ &\det T(\mathbf{w}^6(x)) = -8 x\\ &\det T(\mathbf{w}^7(x)) = 0\\ &\det T(\mathbf{w}^8(x)) = -8 x \end{align}등등. 따라서 의존성에는 명확한 패턴이 있습니다.$k$: $$\{16, -8, 0, -8, 16, -8, 0, -8, 16, -8, 0, -8, 16, -8, 0, -8, 16, -8, 0, -8,\dots\}\,.$$
그런 다음 우리는 $T(\{x-3,x+2,x-1,x,x+1,x-2,x+3\})$ 그리고 다시 패턴이 있습니다. $$\{64, 12, 4, 0, 4, 12, 64, 12, 4, 0, 4, 12, 64, 12, 4, 0, 4, 12, 64, \dots\}\,.$$
그리고 다시 $T(\{x+4,x-3,x+2,x-1,x,x+1,x-2,x+3,x-4\})$ 새로운 패턴 : $$\{256, -16, 0, -16, 0, -16, 0, -16, 256, -16, 0, -16, 0, -16, 0, -16, 256, -16, 0, -16,\dots\}\,.$$
나는 이러한 패턴에 대한 간단한 설명이 존재한다고 확신하지만 지금은 실제로 단서가 없습니다. 어떤 아이디어?
답변
나는 집중할 것이다 $\mathbf v$, 그러나 설명은 $\mathbf w$게다가. 우리는 쓸 수 있습니다$$ T(\mathbf v^k(x)) = xJ + T(\mathbf v^k(0)), $$ 어디 $J$ 모두의 행렬입니다 $1$에스. 그건,$J = \mathbf e \mathbf e^T$, 어디 $\mathbf e = (1,\dots,1)^T$. 고려하는 모든 경우에$T_0$행 합계가 0이므로 반전 할 수 없습니다. 자, 함께 행렬을 결정하는 보조 정리 , 우리는 것을 발견$$ \det[T(\mathbf v^k(x))] = \det(T_0) + (\mathbf e^T\operatorname{adj}(T_0) \mathbf e) \cdot x = (\mathbf e^T\operatorname{adj}(T_0) \mathbf e) \cdot x. $$ 즉, 항상 상수 곱하기 $x$.
사실, 우리는 조금 더 말할 수 있습니다. $\operatorname{adj}(T_0) \neq 0$, $T_0$ 커널이 다음으로 확장되는 대칭 행렬이어야합니다. $\mathbf e$. 다음과 같이 쓸 수 있습니다.$$ \operatorname{adj}(T_0) = \alpha \frac{\mathbf e\mathbf e^T}{\mathbf e^T\mathbf e} = \frac{\alpha}{kn} \mathbf e\mathbf e^T, $$ 어디 $\alpha$ 0이 아닌 고유 값의 곱입니다. $T_0$. 직접 계산을 위해 우리는$\alpha/(kn)$adjugate의 오른쪽 하단 항목입니다. adjugate의 cofactor 공식에 의해 이것은의 마지막 행과 열을 삭제하여 얻은 대칭, Toeplitz 행렬의 결정 인자입니다.$T_0$.
일단 설정되면 우리는 $$ (\mathbf e^T\operatorname{adj}(T_0) \mathbf e) = \frac{\alpha}{kn} (\mathbf e^T\mathbf e \mathbf e^T \mathbf e) = \alpha kn, $$ 그래서 우리의 전체 공식은 $T(\mathbf v^k(x)) = (\alpha kn)\cdot x$.
모든 벡터 $\mathbf v = (v_1,\dots,v_n)$, 잘린 벡터를 나타냅니다. $[\mathbf v] = (v_1,\dots,v_{n-1})$. 위의 설정을 통해 규칙성에 대한 관찰을 다음의 행렬식 계산으로 줄였습니다.$\det T([\mathbf v^k(0)])$ 과 $\det T([\mathbf w^k(0)])$.