일부 이진 연산 앞의 기호에 대한 개념 설명
여러 상황에서 등급이 매겨진 모듈에서 이진 연산이 제공되는 것을 보았습니다. $m:A\otimes A\to A$, 새로운 작업 $M(x,y)=(-1)^{|x|}m(x,y)$ 일부 속성을 만족하도록 정의됩니다.
이에 대한 한 가지 예는 Homotopy G-algebras 및 moduli spaces 에서 발생합니다.$m\in\mathcal{O}(2)$ 그런 $m\circ m=0$ 일부 운영 $\mathcal{O}$, 연관 제품은 다음에 의해 정의됩니다. $xy=(-1)^{|x|+1}m\{x,y\}$, 여기서 중괄호 표기법은 중괄호 대수 구조를 나타냅니다. $\mathcal{O}$. 이 경우 제가 추론 할 수 있었던 설명은 이것이 제품의 연관성을 암시하기 위해 중괄호 관계 (논문의 방정식 (2))가 필요하다는 것입니다.$xy$. 이 경우 기호$(-1)^{|x|}$ 이 목적으로도 작동합니다.
이 상황의 또 다른 직접적인 사례는 Cartan homotopy 공식과 순환 상 동성에서 Gauss-manian 연결에서 발생 합니다.$A_\infty$-대수 $m_i=0$ ...에 대한 $i>2$, 다시 정의하여 dg- 대수를 얻습니다. $xy=(-1)^{|x|}m_2(x,y)$. 이 경우 저자가 다음에 대한 규칙을 사용하기 때문입니다.$A_\infty$-방정식에 더하기 기호 만있는 대수이므로 연관성 관계와 라이프니츠 규칙을 생성하려면 추가 기호가 필요합니다. 따라서 여기에는 중괄호 대수가 없기 때문에 구성이 더 간단하더라도 그 이유는 이전 사례와 매우 유사합니다.
참조가없는 또 다른 예는 거짓말 대수입니다. 등급이 매겨진 거짓말 대수의 생성기를 정의 할 때 종종$l(x,y)=(-1)^{|x|}[x,y]$ 직접 정의하는 대신 $l$브래킷으로. 내가 정확하게 기억한다면 이것은 순전히 조작적인 용어로 Jacobi 정체성을 얻기 위해 필요했습니다.
따라서 일부 관계를 유지하기 위해 그 기호를 추가하는 것이 매우 일반적인 것처럼 보입니다. 이것이 왜 체계적으로 유지되는지에 대한 더 개념적인 설명이 있는지 알고 싶습니다. 방정식을 적을 때 효과가있는 것일 수도 있지만 좀 더 일반적인 직관을 찾고 있습니다.
내 동기는이 아이디어를 더 높은 수준의지도로 일반화하는 것입니다. 더 정확하게, 주어진$A_\infty$-곱셈 $m\in\mathcal{O}$ 그런 $m\circ m=0$, 정의하고 싶습니다 $A_\infty$-구조 $M$ 의 위에 $\mathcal{O}$ 기호 규칙을 충족하는
$$\sum_{n=r+s+t}(-1)^{rs+t}M_{r+1+t}(1^{\otimes r}\otimes M_s\otimes 1^{\otimes t})=0.$$
(또 다른 가능한 규칙이 있습니다. $rs+t$ 대체된다 $r+st$)
그래서 이것은 그가 정의한 Getzler의 논문과 매우 유사합니다. $M_j(x_1,\dots, x_j)=m\{x_1,\dots x_j\}$,이 구조 맵은 관계를 충족합니다. $M\circ M=0$그러나 모든 더하기 기호가 있습니다. 따라서 연관 사례와 비슷한 방식으로 몇 가지 표지판으로이지도를 수정해야합니다. 물론 나는 앉아서 방정식을 작성하고 기호에 필요한 조건을 찾고 패턴을 찾을 수 있습니다. 그러나 연관 사례와 거짓말 대수에 대한 개념적 설명이 있다면 내가 필요한 신호가 무엇인지 알아내는 더 쉬운 방법이있을 수 있습니다.
답변
나는 그 질문이 매우 흥미 롭다는 것을 알게된다. (명백한 이유없이 다양한 대수적 구조에 나타나는 부호 인자와 관련된 유사한 질문이 과거에 꽤 오랫동안 나의 연구를 거쳐 왔다는 의미에서)
대부분의 예에 익숙하지 않지만 연관 대수와 거짓말 대수도 언급하고 있으므로 등급이 매겨진 대수에서 유사한 "현상"을 언급 할 것입니다. 이것은 다음과 관련이 있습니다. $\mathbb{Z}_2$-두 개의 연관 초대 수 사이의 텐서 곱 ($\mathbb{Z}_2$-등급 대수) $A$ 과 $B$. 만약$b$, $c$ 동종 요소 $B$ 과 $A$각각 소위 슈퍼 텐서 곱 대수 또는$\mathbb{Z}_2$-등급이 매겨진 텐서 곱 대수 , 대수 는 대수입니다.$A\underline{\otimes} B$, 그 곱셈은 $$ (a \otimes b)(c \otimes d) = (-1)^{|b| \cdot |c|}ac \otimes bd $$ 와 $|b|, |c|\in\mathbb{Z}_2$. 여기서 부호 인자 는 그룹 hopf 대수의 표현에 대한 모노 이드 범주의 편조를 반영합니다.$\mathbb{CZ}_2$: 초대 수는 편조 모노 이드 범주의 대수로 볼 수 있습니다. ${}_{\mathbb{CZ}_{2}}\mathcal{M}$ (즉, 카테고리 $\mathbb{CZ}_{2}$-modules) 위의 곱셈은 다음과 같이 추상적으로 작성할 수 있습니다. $$ m_{A\underline{\otimes} B}=(m_{A} \otimes m_{B})(Id \otimes \psi_{B,A} \otimes Id): A \otimes B \otimes A \otimes B \longrightarrow A \otimes B $$여기에서 꼬임 은 자연 동형의 가족에 의해 제공됩니다$\psi_{V,W}: V\otimes W \cong W\otimes V$ 명시 적으로 작성 : $$ \psi_{V,W}(v\otimes w)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v $$ 어디 $V$, $W$ 어떤 두 $\mathbb{CZ}_2$모듈.
더욱이,이 편조는 Hopf 대수 그룹의 사소하지 않은 준 삼각 구조에 의해 유도됩니다.$\mathbb{CZ}_{2}$에 의해 주어진 $R$-행렬 : \ begin {equation} R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} = \ sum R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(1)} \ otimes R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {2} = \ FRAC {1} {2} (1 \ otimes 1 + 1 \ otimes g + g \ otimes - 1 g \ otimes g) \ 단부 {식} 의 관계를 통해 :$\psi_{V,W}(v \otimes w) = \sum (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(2)} \cdot w) \otimes (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(1)} \cdot v)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v$.
또 다른 관점에서 위에서 언급 한$R$-행렬은 해당하는 이중 문자 (또는 : 정류 계수)에 의해 "생성 된"것으로 간주 될 수 있습니다 .$\mathbb{Z}_2$그룹.
사이에 bijections가 있습니다$R$-assoc 또는 Lie braided ( "colored"는 다른 이름), 등급 대수에 대한 편조, 등급 화 된 설정의 행렬, 편조 및 이중 문자 (실제로는 정류 계수 임).
이 모든 것은 등급이 매겨진 대수, 등급 및 편조에 대해 일반화 될 수 있습니다. $R$-유한 아벨 그룹에 대한 해당 그룹의 행렬 또는 이중 문자. 또한$\mathbb{G}$-등급, $\theta$더 복잡한 이중 문자를 생성하기위한 색상 거짓말 대수 $\theta:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\to k$ (위의 예에서 $\mathbb{G}=\mathbb{Z}_2$ 정확히 $\mathbb{Z}_2$ 아벨 그룹).
결론적으로, 여기서의 부호는 해당 그룹 이중 문자의 "암시 적"모양입니다. 또한 해당 표현 범주의 꼬임 또는 다음과 같이 볼 수도 있습니다.$R$-대응하는 4 각 삼각 그룹 호프 대수 (핀, 아벨, 그레이딩 그룹)에 대한 행렬.
이 예제에 관심이 있고 질문과 관련이 있다고 생각하는 경우이 답변의 설명을 살펴볼 수도 있습니다. https://mathoverflow.net/a/261466/85967 그리고 거기에 나의 연결된 종이.
Gabriel C. Drummond-Co가 언급했듯이 암시적인 정지와 관련이 있습니다. 나는 Gerstenhaber와 Voronov의 예를 가지고 그것을 할 것이며 다른 사람들도 비슷하게 따라야합니다. 우리가 표시하자$M_2(x,y)=x\cdot y$ 버팀대를 기준으로 정의하려는 제품 $m\{x,y\}$. 지도로 정의하면$(s\mathcal{O})^{\otimes 2}\to s\mathcal{O}$ (단계별 벡터 공간으로서의 서스펜션), 그러면 자연스럽게 할 일은 중괄호를 사용하는 것입니다. $m\{-,-\}:\mathcal{O}^{\otimes 2}\to \mathcal{O}$,하지만 그렇게하기 위해서는 정학 및 정지 해제로 구성해야합니다. 즉,$M_2(x,y)=s(m\{(s^{-1}x,s^{-1}y)\})$. 그리고 그것은 적용됩니다$(s^{-1})^{\otimes 2}(x,y)$ 사인을 만드는 것 $(-1)^{|x|}$나타나다. 우리가 사용한다면$(s^{\otimes 2})^{-1}$ 대신 원래 기호를 얻습니다. $(-1)^{|x|+1}$.