일련의 연결된 하위 집합에서 교차점이 유한하고 비어 있지 않음을 증명합니다.
제목은 단순한 버전 일뿐입니다. 현재 저는 이해 분석을 읽고 예비 작업을하고 있습니다. 질문은 ~이야:
만약 $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ 모두 유한하고 비어 있지 않은 실수 세트이고, 그 다음 교차점 $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ 유한하고 비어 있지 않습니다.
이 시점에서 책은 공식적으로 유한을 정의하지 않았습니다. 또한이 책이 제공하는 유일한 힌트는 다음 질문입니다.
만약 $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ 무한한 수의 요소를 포함하는 모든 세트입니다. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ 무한합니다.
이 질문과 앞서 언급 한 예를 통해 세트를 정의하여이 문제를 해결할 수 있습니다. $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ 그리고 모순에 의한 증거.
그러나에 관해서 $A_i$ 유한 요소를 포함하고 있으므로 지금은
- 정의로 입증
- 무한한 버전과 같은 카운터 예를 찾을 수 없습니다 뒤에 직관을 이해
답변
한 가지 방법은 감소하는 양의 정수 시퀀스,이 경우 세트의 카디널리티 $A_k$, 결국 상수 여야합니다. 에 대한$k\in\Bbb Z^+$ 허락하다 $n_k=|A_k|$, 요소의 수 $A_k$; $n_k$양의 정수입니다. 허락하다$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ 비어 있지 않은 양의 정수 집합이므로 가장 작은 요소가 있습니다. $m$. 허락하다$\ell\in\Bbb Z^+$ 그렇게 $n_\ell=m$.
$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, 그래서 $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$. 그러나$m=\min N$, 그래서 $n_{\ell+1}\ge m$, 따라서 $n_{\ell+1}=m$. 그러므로,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ 과 $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , 그래서 $A_{\ell+1}=A_\ell$. 이 아이디어를 귀납법으로 증명할 수 있습니다.$A_k=A_\ell$ 모든 $k\ge\ell$. 그러면 거의 끝났습니다.$A_k\supseteq A_\ell$ ...에 대한 $k=1,\ldots,\ell$, 및 $A_k=A_\ell$ ...에 대한 $k>\ell$, 그래서
$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$