incircle 터치하자 $AB$ 과 $AC$ ...에서 $F$ 과 $E$. 허락하다 $C \cap FE=L$ 과 $BI \cap EF= N$. 보여줘 $B,L,N,C$ 주기적입니다.

Question

허락하다 $ABC$ I를 중심으로하는 삼각형이되고 incircle이 닿게합니다. $AB$ 과 $AC$ ...에서 $F$ 과 $E$. 허락하다$C\cap FE=L$ 과 $BI\cap EF= N$. 보여줘$B,L,N,C$ 주기적입니다.

지금은 중요한 진전이 없었지만 여기에 내 관찰이 있습니다.

• $BLNC$ 지름이있는 원 위에 놓인 순환 $ BC$
• $FLIB$ 과 $NIEC$ 너무 순환 적입니다.

이 질문은 쉽게 부끄러워 할 수 있다고 생각하지만 종합적인 증거를 얻고 싶습니다.

미리 감사드립니다!

Answer 1

청구. $\angle BLI=90$

클레임 증명. 보여주기에 충분합니다.$BFLI$ 순환하는 곳 $D=\odot(I)\cap BC$. 이를 위해$$\angle LDB=\pi - \angle LDC=\pi - \angle LEC=\angle AEF=\angle AFE$$그러므로, $BFLI$주기적입니다. 이것으로 클레임 증명이 완료됩니다.

마찬가지로, 우리는 $\angle BLC=90=\angle BNC$ 그래서 $BLNC$ 순환 $BC$ 직경으로.

Answer 2

어떻게 증명하는지 알면서 $FLIB$ 과 $NIEC$ 주기적입니다. 당신은 절반 이상을 해결했습니다.

증명해야합니다 $\angle LBN=\angle LCN$ (그때 $BLNC$순환).
그러나$\angle LBI=\angle LFI$ 이후 $BFLI$
유사하게 순환$\angle ICN=\angle IEN$ 이후 $NIEC$ 주기적입니다.

그래서 당신은 증명해야합니다 $\angle IFE=\angle IEF$ 하지만 이후로 사실입니다 $\triangle IEF$ 이등변- $IF=IE$ innerradii입니다.