인덱스와 동일한 상한이있는 이중 합계 : $\sum\limits_{i=1}^j\sum\limits_{j=1}^5 3ij$

Question

이중 합산을 접한 것은 이번이 처음입니다. $$\sum_{i=1}^j\sum_{j=1}^5 3ij$$ 나는 오른쪽 합산을 풀었지만 왼쪽 합산의 'j'상한으로 무엇을 해야할지 모르겠습니다. 아마도 순서를 먼저 변경해야할까요?

Answer 1

$$S=\sum_{i=1}^j\sum_{j=1}^5 3ij=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^j 3ij= \sum_{j=1}^{5}3j \sum_{i=1}^{j} i=\sum_{j=1}^{5}[3j(j(j+1)/2].=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{5}[3j^3+3j^2] $$ $$\implies S=\frac{3}{2} \left(\frac{5(5+1)}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\frac{5(5+1)(2.5+1)}{6}=420$$