이산 프로. 분포 : 이항
이항 분포의 경우 트리 다이어그램을 사용하는 대신 이벤트의 결과 중 몇 개가 발생했는지 알고 싶을 때 선택 또는 조합을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 랜덤 변수 X가 동전을 세 번 던진 후 앞면의 수를 나타내도록하고 우리는 그 확률을 알고 싶습니다. 한 번 나오는 머리의.
Pr (X = 1) = 3C1 times ... prob라고 말할 수 있습니다. 성공 시간 확률. 실패의.
우리는 하나의 머리를 선택할 수있는 세 가지 방법이 있다는 것을 알고 있기 때문입니다. 트리 다이어그램에서 : HNN, NNH, NHN. H = 머리, N = 머리 없음.
내 질문은 순서가 중요한 일에 조합을 사용하지 않는 것이 분명 할 때 조합을 사용하는 것이 올바른 이유입니다. 여기서 우리는이 HNN, NNH, NHN이 하나의 헤드와 두 개의 헤드의 동일한 요소를 포함하는 모두 다른 것이므로 순서가 중요하다는 것을 알 수 있습니다. 대신 순열을 사용할 수없는 이유는 무엇입니까?
답변
순열은 고유 한 개체의 배열을 계산 합니다. 시퀀스의 길이가 2보다 큰 경우 머리와 꼬리 시퀀스의 요소는 구별 될 수 없습니다.
예를 들어, 5 개의 고유 문자가있는 단어 COUNT의 문자 순열 수는 다음과 같습니다. $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$ 그리고 단어 COUNT의 문자에 대한 세 글자 순열의 수는 $$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
반면에 모든 문자가 구별되지 않는 DISTRIBUTION 단어 문자의 구별 가능한 순열 수는 다음과 같습니다. $$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$Is에 대해 12 개 위치 중 3 개를 선택하고 Ts에 대해 나머지 7 개 위치 중 2 개를 선택한 다음 나머지 7 개 위치에 7 개의 개별 문자 D, S, R, B, U, O, N을 정렬해야합니다. 요인$3!$분모는 주어진 배열과 구별 할 수있는 배열을 생성하지 않고 주어진 배열 내에서 우리가 그들 사이에서 Is를 치환 할 수있는 방법의 수를 나타냅니다. 요인$2!$ in the denominator는 주어진 배열과 구별 될 수있는 배열을 생성하지 않고 주어진 배열 내에서 그들 사이에 T를 치환 할 수있는 방법의 수를 나타냅니다.
귀하의 예에서는 시퀀스의 나머지 위치를 꼬리로 채워야하므로 머리와 꼬리의 시퀀스가 머리의 위치를 선택하여 완전히 결정되기 때문에 조합을 사용합니다.
일반적으로 이항 분포 문제에서 우리는 결과 중 하나를 성공으로 정의하고 다른 결과를 실패로 정의합니다. 정확히 얻을 확률$k$ 성공 $n$ 각각 확률이있는 시행 $p$ 성공의 $$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$ 어디 $p^k$ 확률은 $k$ 성공, $(1 - p)^{n - k}$ 확률은 $n - k$ 실패 및 $\binom{n}{k}$ 그 방법의 수를 계산 $k$ 성공은 다음에서 발생할 수 있습니다. $n$시련. 어떤 것을 선택하는지 주목하십시오$k$ 의 $n$ 시행은 성공입니다. 정확히 있다면 결과를 완전히 결정합니다. $k$ 나머지 이후의 성공 $n - k$ 시련은 실패로 이어져야합니다.