"이상한"함수의 역함수를 계산하는 방법 $y=x+\cos x$
제목에서 말했듯이 역함수를 계산하는 방법 $y = f(x) = x + \cos x$ ?
슈퍼 기능을 찾았습니다 $x = g(y)$ 이렇게 : $x = y -\cos(y-\cos(y-\cos(y-cos(...(y-\cos y)...))))$, 무한 중첩 루프가 있습니다. 그리고 그것을 테스트하기 위해 matlab을 사용합니다. 중첩이 많을수록 근사 오류가 낮아집니다. 그래서 나는 추측하고 있습니다$g(y)$ 진정한 역함수 $f(x)$.
그렇다면 그 이유는 무엇입니까? 그리고 형식을 "단순한"유한 스타일로 줄일 수 있습니까?
그렇지 않다면 무엇이어야합니까? 그리고 왜?
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변경 사항 : 수학 지식이 부족해서 죄송합니다. "..."이 의미하는 바를 설명하는 적절한 기호를 찾을 수 없습니다. 프로그래밍 언어를 사용하는 것은 어떻습니까?
y = a; % a is a constant
x = y - cos(y);
for i = 1:10000
x = y - cos(x);
end
disp(x)
답변
코드의 시퀀스는 다음과 같이 정의됩니다. $x_0 = a$ 과 $x_{n+1} = a - \cos(x_n)$, 설정하고 싶습니다. $g(a) = \lim_{n \to \infty} x_n$. 한계가 존재한다고 가정하십시오. 그럼 물론 한계$x_{n+1}$ 또한 $g(a)$, 그래서 양쪽의 한계를 가지고 $x_{n+1} = a - \cos(x_n)$ 준다 $g(a) = a - \cos(g(a))$, 또는 $g(a) + \cos(g(a)) = a$, 또는 $f(g(a)) = a$. 그것이 우리가 기대하는 것입니다.$f$, 그래서 이것은 유망합니다.
증명을 완료하려면 2 가지 더 확인해야합니다 : (1) 한계가 존재하는지, (2) $g(f(a)) = a$ 게다가.