이상한 모양의 Følner 시퀀스
허락하다 $G$이산적이고 유한하게 생성 된 그룹입니다. 기억하세요$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$다음과 같은 경우 Følner 시퀀스입니다.$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ 매번 $g \in G$. 잘 알려진 바와 같이, Følner 시퀀스의 존재는$G$.
종종 Følner 시퀀스는 이상한 모양을 가지고 있다고합니다 . 내 부드러운 질문은 :이 주장을 뒷받침하는 어떤 예가 있는가? 당연하지 만약$G$기하 급수적으로 성장하면 볼의 하위 시퀀스가 Følner 시퀀스를 형성하며 이상한 모양 이 아닙니다 . 따라서 더 구체적으로 말하면 볼로 구성되지 않은 명시적인 Følner 시퀀스를 갖는 지수 성장 그룹의 어떤 예를 알고 있습니까?
내가 요청하는 예제의 예로, 별 모양의 Folner 시퀀스 는 특정 형태의 Følner 세트를 요청하는 반면, Folner 세트 및 공 의 대답은 (공이 아닌) 직사각형 으로 구성된 명시 적 시퀀스를 제공합니다 . 마찬가지로 ax + b 그룹에는 한 쪽이 다른 쪽보다 기하 급수적으로 큰 사각형으로 구성된 Følner 시퀀스가 있습니다.
답변
여기에서 대수는 그림보다 더 유용하지만 그림은 재미 있습니다. 램프 라이터, 일반적인 공의 빠른 렌더링 및 Følner 램프 라이터 세트에 대한 내 의견을 입증합니다. 사실 어느 것이 더 예쁜지는 모르겠지만 Følner 세트는 실제로 공처럼 보이는 세트입니다.
두 사진은 다른 각도에서 촬영되어 입체를 형성하므로 오른쪽 눈으로 맨 왼쪽 사진을보고 그 반대의 경우 입체시가 시작됩니다. 도움이되지 않는 경우 다음 중 하나를 무시할 수 있습니다. 사진.
첫째, 공 또는 반경 $3$머리가 움직이는 발전기와 함께. 머리가 오른쪽으로 이동하면 다이어그램 위로 이동합니다. 저는 추측 할 수있는 몇 가지 규칙을 사용하고 있습니다.
다음은 동일한 발전기를 사용하는 전형적인 Følner 세트입니다.
이 질문은 Folner 정리가 입증 된 후 50 년대와 60 년대에 인기가있었습니다. 이상한 Folner 세트의 많은 예가 만들어졌습니다. Folner 세트가 아니고 공이 아닌 그룹의 전형적인 예는 램프 라이터 그룹과 무한 순환 gtoup의 화환 제품입니다. 최근 논문은 Anna Erschler를 참조하십시오. 유한하게 생성 된 그룹의 등거리 프로파일. Geom. Dedicata, 100 : 157–171, 2003 및 그 안의 참조.
당신의 비 연약한 질문에 대한 대답은 다음 그룹은 모두 볼이 Folner가 아닌 것으로 알려진 [최소한 하나] 생성 세트를 가지고 있지만 다른 ( "직사각형") 시퀀스는 다음과 같습니다 : 해결 가능한 Baumslag-Solitar, 일부 화환 제품 (램프 라이터 포함), 일부 확장$\mathbb{Z}^d$ 으로 $\mathbb{Z}$ (노름 1의 고유 값이없는 행렬에 의해 주어진 것), 일부 $ax+b$ 그룹 및 기본적으로 성장 시리즈가 합리적이고 계산 된 거의 모든 수용 가능한 지수 성장 그룹입니다 (자세한 내용은 아래 참조).
Folner 세트의 "이상 함": 질문에서 언급했듯이 [볼 시퀀스의 하위 시퀀스]는 모든 하위 지수 성장 그룹에서 자연스러운 Folner 시퀀스를 형성합니다. 이제 다른 사람들이 지적한 것처럼 볼 (유한 생성 세트에 대한)은 상당히 "추악"합니다. 최적의 Folner 세트의 개념을 고려하면 정확할 수 있습니다.
허락하다 $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (그만큼 $\inf$ 모든 세트에 걸쳐 실행 $A$ 크기 $\leq n$) 등시 프로파일입니다. 그런 다음 세트$F$ 최적의 경우 $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. 즉, 세트가$E$ [카디널리티 측면]보다 크지 않음 $F$, 그러면 등 비율 $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, 등 비율을 이길 수 없습니다 $F$.
최적의 Folner가 설정 한 것을 확인할 수 있습니다 (Loomis-Whitney 부등식 사용). $\mathbb{Z}^d$(일반적인 생성 세트로) [하이퍼] 큐브 (또는 직사각형 형태를 갖는 경향이 있음)입니다. 이것은 공이 "서투른"폴너 세트라고 말하는 모호하지 않은 방법입니다. 이에 비해 최적의 세트는 전혀 "이상한"것이 아닙니다 (매우 잘 선택되어야하므로).
이상함에 대한 자세한 내용은 아래의 참고 사항을 참조하십시오.
명백한 예 : 다음으로, 기하 급수적 인 성장 그룹이 주어지면 공 시퀀스의 하위 시퀀스가 Folner인지 여부는 열린 질문입니다. 나는 그룹 [집합 생성과 함께]이 기하 급수적 인 성장을 멈췄을 때 이것이 사실이 아니라는 것을 보여주는 부분적인 대답 을했다. 여기에는 많은 화환 제품, 해결 가능한 Baumslag-Solitar 그룹 및 일부 확장이 포함됩니다.$\mathbb{Z}^d$ 으로 $\mathbb{Z}$ (자세한 내용은 링크 참조).
이 그룹은 모두 반 직접 제품으로 작성 될 수 있습니다. 만약$G$ 과 $H$ 친절 할 수 있다면 $G \rtimes H$ Folner 세트는 양식입니다. $E_n \times F_n$ (어디 $E_n$ [resp. $F_n$]는 Folner 시퀀스입니다. $G$ [resp. $H$]). 그런 의미에서, 그러한 그룹에서 우리가 마주 치는 (일반적인 증명에 의해 생성된다는 의미에서 느리게) 폴너 세트는 "직사각형"입니다.
따라서 위에서 언급 한 그룹 [해결 가능한 Baumslag-Solitar, 일부 metabelian 그룹, 성장 계열이 합리적이고 수렴 반경에 두 개의 극이없는 그룹 (많은 화환 제품 및 $ax+b$-groups)]는 두 번째 질문에 대한 직접적인 대답입니다 (일부 생성 세트의 경우). 공 (wrt 생성 세트)이 폴 너가 아니라 일부 "직사각형"세트가 있다는 것을 알고 있습니다 (정확히 말하자면 : 반 직접 제품 또는 수용 가능한 그룹의 확장이 아닌 단일 극을 가진 그룹이있을 수 있습니다. 이러한 그룹의 경우 [ 알려진 경우] "직사각형"세트가 없습니다).
비 분할 확장에 대한 Folner 세트에 대한 설명되었다 가 넘겨 Ycor에 의해. 분할되지 않은 확장에 대해 "직사각형"의 의미를 조정할 수 있습니다. 하위 그룹의 일부 Folner 집합에 몫을 곱한 Folner 집합의 사전 이미지를 가져옵니다.
이제 "직사각형"(더 이상 공이 아님) 세트가 가장 좋아한다고 생각할 수 있습니다. 그러나 중간 성장의 단순한 그룹도 있습니다 . 이 질문을보십시오 . 그리고 (그런 그룹이 아니라면 다른 단순한 하위 기하 급수적 성장 그룹의 경우) 볼이 유일한 후보라고 생각합니다.
기본적으로 문제는 우리가 수용 가능한 그룹을 구성하는 방법과 더 관련이 있다고 생각합니다. 우리는 항상 편의성의 네 가지 속성 (확장, 하위 그룹, 몫 및 직접 제한)을 사용합니다. 그래서 사람들은 성장을 기본 기준으로 시작하고이 네 가지 속성을 사용합니다 (여러 가지 방법이있을 수 있습니다). 이것은 주어진 그룹에 대해 알려진 Folner 세트를 제공합니다. 어리석은 예로서 당신은 자연스러운 Folner가$\mathbb{Z}^3$ 실린더입니다 (볼이 $\mathbb{Z}^2$ 배 공 $\mathbb{Z}$).
사이드 노트 1 : (연속적인) 하이젠 베르크 그룹에서 그러한 세트가 무엇인지 증명하는 것은 오랫동안 열려있는 질문입니다 (추상 된 모양이 잘 설명되어 있음에도 불구하고). 그건 내 의욕했다 이 질문입니다.
사이드 노트 2 : Ycor가 지적한 바와 같이 Folner 시퀀스가 주어짐$F_n$ 유한 집합의 임의 시퀀스를 고려하여 "원하는대로 이상하게"만들 수 있습니다. $E_n$ 와 $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. 최적의 Folner 시퀀스를 고려할 때의 장점 중 하나는 이러한 설정을 피하는 것입니다 (분명한 단점은 최적의 집합이 알려진 그룹이 거의 없다는 것입니다). 추가 참고 사항은 이러한 세트를 추가하면$E_n$(고정 된 한외 여과기의 경우) 획득하는 불변 측정에 영향을 미치지 않습니다. 세트를 번역하면 한계 측정에 영향을 미칠 수 있습니다.
참고 3 : 다음은 Folner 세트의 "이상 함"의 또 다른 측면입니다. 순서를 고려하십시오$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, 만큼 잘 $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ 세트의 $\mathbb{Z}$. 그런 다음 기능을 고려하십시오.$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. 불변의 의미는$P_n$ 의 위에 $f$ 1 (선택한 한외 필터에 관계없이), $M_n$ 이다 $-1$ (다시 말하지만, 한외 필터가 무엇이든) 그리고 마지막으로 당신이 얻는 것 $A_n$선택한 ultafilter에 따라 다릅니다. 그리고 당신은 모든 실수를 구성 할 수 있습니다.$[-1,1]$ 시퀀스 $R_n$그 숫자에 수렴합니다 (한외 여과기의 독립적 인). 한외 여과기에 따라 임의의 유리수로 수렴 할 수있는 시퀀스를 구성하는 것은 그리 어렵지 않습니다.$[-1,1]$.