Jacobi Elliptic Functions를 포함하는 일부 적분 계산

Question

다음 적분을 평가하고 싶습니다. $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ 과 $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ 어디 $\text{sn}$, $\text{dn}$ 과 $\text{cn}$Jacobi Elliptic snoidal , dnoidal 및 cnoidal 기능,$K:=K(k)$ 1 종과 숫자의 완전 타원 적분 $k \in \left(0,1\right)$ 모듈러스라고합니다.

나는 이미 참조를 참조했습니다 $[1]$도움이되는 공식을 찾았지만 아무것도 찾지 못했습니다. 이 적분은 명시적인 형식을 가지고 있습니까? 도움이 될만한 다른 참고 자료가 있습니까?

$[1]$PF 버드. MD Friedman. 엔지니어와 과학자를위한 타원형 적분 핸드북. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlim,$1971$.

Answer 1

근본적인 관계를 통해 (B & F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ 첫 번째 주어진 적분을 다음으로 변환 할 수 있습니다. $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ B & F 364.03에 의해 우리는 이것을 완전히 합리적 적분으로 다시 작성할 수 있으며 쉽게 평가할 수 있습니다. $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ 주어진 두 번째 적분을 변환하면 $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ 어느 시점에서 우리는 이것이 첫 번째 주어진 적분의 특별한 경우라는 것을 깨닫습니다. $k^2=1$, 그래서 우리는 즉시 결과를 얻습니다. $\frac\pi{16}$.