자동 이산 스펙트럼의 특성화
최근에 Moeglin과 Waldspurger가 저술 한 "Spectral decomposition and Eisenstein series"라는 책에서 automorphic spectral decomposition에 대해 배웠습니다. (MW라고 부르겠습니다)
이산 스펙트럼의 특성에 대한 질문이 있습니다.
MW에서와 같은 기본 표기법을 설명하겠습니다.
허락하다 $G$ 대수 분야에 대해 연결된 환원 그룹 $k$ 과 $\xi$ 단결하다 $Z_G(A)$.
허락하다 $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ 있다 $L^2$-기능 $G(k)\setminus G(A)$ 중심 인물 $\xi$.
그때, $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ Eisenstein 시리즈의 반복 된 잔류 물과 그 보완 물에 의해 생성 된 공간으로 분해되며, 이는 Eisenstein 시리즈의 직접 적분으로 설명됩니다. (MW, IV 2.1)
첫 번째 공간이라고 부를 게 $L^2_d$.
(내 생각에는 $L^2_d$ 스팬의 폐쇄입니다 $L^2$ 자동 형태 $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$.)
반 간단한 부분, 즉 힐베르트의 위상 적으로 비 환원 할 수있는 부분 표현의 합이라고 부르겠습니다. $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$, 이름 $L^2_{ss}$.
이산 스펙트럼 및 연속 및 기본 속성의 정의
위의 기사에서는 이산 스펙트럼이라고합니다.
내 질문은
- 아르 $L^2_d$ 과 $L^2_{ss}$ 똑같다?
- 그렇다면 어떻게 증명할 수 있습니까? Gelfand-Graev-Patetski-Shapiro 정리의 증명처럼 기초 기능 분석 (예 : Walter Rudin의 "Functional Analysis"책에 대한 지식)을 통해 증명할 수 있습니까?
나는 그것이 명백하다고 생각한다 $L^2_d$ 포함 $L^2_{ss}$하지만 그 반대가 사실인지 궁금합니다. 이 질문을 해결하는 단서가 있으면 감사하겠습니다. 감사!
편집 됨 : 질문과 정의를 하나 더 추가했습니다. $L^2_{ss}$의견과 일치합니다. 의견 주셔서 감사합니다!
답변
의 허용에 의해 사실입니다 $L^2_{d}$.
주장 1. $L^2_{d}$ 허용됩니다.
증명 스케치
K- 타입이 고정되면, K- 타입과 그 안에있는 자동 형태의 무한 소형 문자의 유한 한 가능성이 있습니다.$L^2_{d}$, 에이젠슈타인 시리즈의 타구 대 표현 및 잔류 물의 구성에 대한 Harish-Chandra 허용 정리에 의해 (cf. MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3)
따라서 다시 Harish-Chandra 허용 정리에 의해 공간$L^2_{d}$ 허용됩니다.
제 2 개 항 (G의 허용 가능 단위 표현$\mathbb{A}$)는 약간 단순합니다.
증명의 스케치
0이 아닌 모든 허용 가능한 단일 표현이 축소 불가능한 하위 표현을 가지고 있음을 보여주는 것으로 충분합니다. (그런 다음 Zorn의 보조 표를 따릅니다.)
Let$\pi$0이 아닌 허용되는 단일 표현이어야합니다. 그런 다음 유한 한 K 유형 세트가 있습니다.$\mathcal{F}$ 그런 $\mathcal{F}$-전형적인 부분 $\pi$, 말 $\pi_\mathcal{F}$0이 아닙니다.
허락하다$e_\mathcal{F}$ G의 Hecke 대수에서 상응하는 멱등 수, $\mathcal{H}(G)$, 그리고 $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ 있다 $e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$. (참조. Corvallis p183, Flath 기사 및 Knapp-Vogan의 1 장.)
그런 다음$\pi_\mathcal{F}$ 축소 할 수없는 하위 표현이 있고 $\rho_\mathcal{F}$ 의 $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ 그리고 G ($\mathbb{A}$)-부분 공간 $\rho$.
우리는$\rho$환원 할 수 없습니다.
그렇지 않으면,$\rho$ 두 개의 적절한 닫힌 부분 공간의 직접 합을 분해합니다. $\rho_{1}$ 과 $\rho_{2}$.
투사$\rho_\mathcal{F}$, 다음 중 하나 $(\rho_i) _\mathcal{F}$0이 아닙니다. 비 환원성으로$\rho_\mathcal{F}$, 다음 중 하나 $(\rho_i)$ 같음 $\rho$그리고 모순. (이 증명을 완료하려면 일부 기능 분석을 사용해야합니다 (예 : Wallach의 실제 환원 그룹의 1.6.6 참조).