재귀 적으로 열거 가능한 집합이 $\mathbb{N}$? 그렇다면 어떤 추가 포화 조건을 충족합니까?
재귀 적으로 열거 가능한 집합은 다음의 하위 집합 모음입니다. $\mathbb{N}$, 그 정의는 잘 알려져 있으며 여기 에서 Wikipedia 에서 찾을 수 있습니다 . 어제 나는 여기서 "일반화 된 토폴로지 공간"의 정의를 우연히 발견 했습니다 (정의 2.2.1) (이하 GTS라고 함). 정의는 광범위하고 독자에게 링크를 확인하도록 요청하지만 질문 텍스트를 위해; 트리플$(X, Op_X, Cov_X)$, 세트 $X$, 오픈 세트 모음 $Op_X\in 2^X$및 허용되는 덮개 $Cov_X\in 2^{2^X}$ (마지막 항목은 GTS를 일반 토폴로지와 구분합니다. 공용체는 임의적이지 않고 $Cov_X$) 트리플이 A1에서 A8까지 일부 조건을 충족하면 GTS를 형성합니다.
그런 다음 트리플이 $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$ 그러한 공간을 형성합니다 (여기서 $RE$ 재귀 적으로 열거 가능한 집합의 모음이며 $Cov_{RE}$ 컬렉션 모음입니다. $C$ 의 $RE$ 그런 요소 $C$그 자체로 재귀 적으로 열거 가능 [1]). 이 트리플에서는 조건 A7 및 A8 (포화 [2] 및 규칙 성 공리)이 실패합니다.
여기에서 다음 단계는 단순히 실패한 조건을 무시하거나 다시 말해서 GTS를 더 일반화하는 경우 어떻게되는지 고려하는 것입니다. GTS의 정의를 제공하는 동일한 텍스트는 해당 정의가 Grothendieck 토폴로지와 관련이 있다고 설명하지만 여기서는 문제에 부딪 혔습니다. GTS의 정의는 일반 집합 이론 언어로 설명되었지만 Grothendieck 토폴로지는 내가 말할 수있는 한 범주 이론에 깊이 뿌리를 둔 개념이며, 그 언어는 아직 이해하지 못합니다. 그럼에도 불구하고, ncatlab을 탐색하고 여기 에 정의 된 Coverage와 함께 범주 인 Site의 정의에 도달 할 수 있습니다 . 내 이해는 커버리지가이 맥락에서 가장 일반적인 정의이며 커버리지에 추가 조건을 적용하여 Grothendieck (사전) 토폴로지를 얻는다는 것입니다 (GTS가이 모든 것에 정확히 어디에 적합한 지 확실하지 않지만 사이트는 실제로 GTS의 일반화).
내가 여기서 묻는 실제 질문은 여러 부분으로 나뉩니다.
- 사이트가 무엇인지 내가 맞습니까? 즉, 사이트의 정의 (물론 범위도 포함)를 "분류 해제"하면 더 적은 조건을 제외하고는 GTS의 정의와 같은 것으로 끝날까요?
- 그렇다면 트리플은 $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$사이트를 만드시겠습니까? 즉,$Cov_{RE}$ 실제로 적용 범위 $\mathbb{N}$? 예를 들어, "풀백시 안정적"입니까?
- 이것이 사실이라면 어떤 추가 "포화 조건"( 여기 참조 )이$Cov_{RE}$풀다? 적절한 Grothendieck 토폴로지로는 충분하지 않지만 사전 토폴로지로는 충분할 수 있다고 생각합니다.
[1]-다음과 같이 말하면 약간의 언어 남용이 수행됩니다.$C$ 재귀 적으로 열거 할 수 있습니다. " $C\in RE$ 이 문장만으로도 실제로 $C\in 2^{RE}$이 특정 경우에); 그것에 대해 불편한 사람들을 위해, 정의하는 동등한 방법$Cov_{RE}$다음과 같다. 먼저 수정$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$, RE 자체의 계산 가능한 열거. 그때$Cov_{RE}$ 이다 $\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$, 즉 컬렉션 $C$ RE 요소의 $Cov_{RE}$ 존재한다면 $S\in RE$ 지도 할 수 있도록 $\phi$ 위에 $S$ 획득 $C$ 결과로서.
[2]-여기서 "포화 공리"는 GTS에 대한 특정 공리이며, 질문에서 추가로 카테고리 이론 관련 정의는 고유 한 다중 포화 조건을 가지고 있습니다.
답변
부분적으로 정렬 된 임의의 집합을 다루고 있다고 가정 해 보겠습니다. $(P, \leq)$. 특정 토폴로지 공간의 경우$P$ 일부 하위 집합 모음입니다. $X$, 기본 공간. 우리는 고려할 수 있습니다$P$ 다음과 같이 정식 방식으로 범주로 분류됩니다. 객체 세트는 $P$, 각 화살표 사이에는 최대 하나의 화살표가 있습니다. $x, y \in P$, 사이에 화살표가 있습니다. $x$ 과 $y$ iff $x \leq y$.
물체 위의 체 $x$ 컬렉션으로 정의 할 수 있습니다. $S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$ 모든 속성을 만족시키는 $(f, z) \in S$ 그리고 모든 $g : w \to z$, 우리는 $(f \circ g, w) \in S$.
부분적으로 주문 된 세트에 대해 이야기 할 때 $(f, z)$ 어디 $f : z \to x$ 정보를 추가하지 않습니다 ( $z \leq x$) 최대 1 개이므로 $f : z \to x$. 따라서 우리는 체를 동등하게 고려할 수 있습니다.$S$ 의 위에 $x$ 컬렉션으로 $S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$ 모두를위한 st $z \in S$, 모든 $w \leq z$, $w \in S$. 이것이 제가 PO-sieve라고 부르는 것입니다.
체를 감안할 때 $S$ 의 위에 $y$ 그리고 화살 $f : x \to y$, 우리는 $f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$ 과 $f \circ g \in S\}$, 체에 $y$.
따라서 PO 체가 주어지면 $S$ 의 위에 $y$ 그리고 일부 $x \leq y$, 우리는 정의 할 수 있습니다 $S_x = \{z : z \leq x$ 과 $z \in S\}$, 체에 $x$.
범주에 대한 Grothendieck 토폴로지 $C$ 각 개체의 매핑입니다. $x \in C$ 가족에게 $F_x$ 체의 $x$ 몇 가지 공리를 충족합니다.
이에 따라 포셋의 PO-Grothendieck 토폴로지 $P$ 각 요소의 매핑이어야합니다. $x \in P$ 가족에게 $F_x$ 해당 공리를 충족하는 PO 체의.
Grothendieck 토폴로지의 Axiom 1 : for every $x \in C$, 우리는 $\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$.
PO-Grothendieck 토폴로지의 해당 공리 1 : $x \in P$, 우리는 $\{z : z \leq x\} \in F_x$.
Grothendieck 토폴로지의 Axiom 2 : 모든 $f : x \to y$, 모든 체에 대해 $S \in F_y$, 우리는 $f^*(S) \in F_x$.
PO-Grothendieck 토폴로지의 해당 공리 2 : $x \leq y$ 그리고 모든 PO-sieve $S \in F_y$, 우리는 $S_x \in F_x$.
Grothendieck 토폴로지의 Axiom 3 : $S \in F_x$. 그리고 체가 있다고 가정합니다.$P$ 의 위에 $x$ 모두를 위해 $(f, z) \in S$, $f^*(P) \in F_z$. 그때$P \in F_x$.
PO-Grothendieck 토폴로지의 해당 공리 3 : $S \in F_x$. 그리고 PO 체가 있다고 가정합니다.$P$ 의 위에 $x$ 모두를위한 st $z \in S$, $P_z \in F_z$. 그때$P \in F_x$.
이것이 일반화 된 토폴로지 공간과 어떤 관련이 있습니까? 그러한 일반화 된 공간이 주어 졌다고 가정하십시오. 부분 주문 세트$P$ 주문한 오픈 세트입니다. $\subseteq$. 어떤 컬렉션이 주어진다고 가정$C$오픈 세트. 밝히다$f(C) = \{U $ 열다$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$. 그러한 모든 것에 대해$C$, $f(C)$PO 체입니다. 그런 다음 주어진$U$ 개방, 우리는 정의 할 수 있습니다 $F_U = \{f(C) : C \in cov_X$ 과 $\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$.
이것이 PO-Grothendieck 토폴로지를 제공하는지 확인해 보겠습니다.
공리 1 : 이것은 $\{U\} \in cov_X$ 모든 $U$ -즉, 공리 A3에서 이어집니다.
공리 2 : 이것은 공리 A5에서 이어집니다.
공리 3 : 이것은 공리 A6에서 이어집니다.
마지막으로, 우리는 $\mathbb{N}$재귀 적으로 열거 가능한 집합을 "열기"하고 재귀 적으로 열거 할 수있는 집합의 "덮개"를 반복적으로 열거합니다. 이것은 A3, A5 및 A6 공리를 충족하므로 PO-Grothendieck 토폴로지를 형성합니다.