자신을 설득하는 방법 (상상) $\Bbb S^1$-액션 $\Bbb S^3$ 구의 원을 수정합니까?
자신을 설득하는 방법 (상상) $\Bbb S^1$-액션 $\Bbb S^3$ 구의 원을 수정합니까?
로 인해 제이슨 DeVito의 의견 ,의 행동을 쉽게 알 수있다$\Bbb S^1$ 의 위에 $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ 정의 $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ 전체 원을 수정 $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$. 하지만 상상할 수는 없습니다. 제 마음 속의 일반적인 행동 그림은 원 동작이 일종의 회전이기 때문에 회전축이 있고이 축을 중심으로 회전하면 최대 2 점까지 고정 할 수 있다는 것입니다. 회전축이 선이 아닐 수 있습니까?
이제이 동작에 대해 기하학적으로 어떻게 생각할 수 있습니까? $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$.
편집 : 마지막 작업에 대한 나의 이해는 다음과 같습니다.$\Bbb S^3$ 시계 방향으로 회전하고 다른 쪽은 시계 반대 방향으로 (첫 번째 동작과 다른 평면에서) 회전하고 이러한 동작은 구의 중앙에 영향을 미치고 중간이 무섭고 꼬이게됩니다. 원통처럼 경계를 다른 방향으로 회전하면 꼬임 나사처럼 중간에.
답변
저에게 회전에 대해 생각하는 방식은 최대 원환 체 정리의 결과입니다. $\mathrm{SO}(n)$. 즉, 주어진$A\in \mathrm{SO}(n)$ (즉, 회전 $\mathbb{R}^n$ 어느 수정 $0$), 몇 가지 근거가 있습니다. $\mathbb{R}^n$ 이 기반에서 $A$ 일반의 무리로 구성 $2$차원 회전 블록.
더 정확하게는 쓰기 $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ 표준 반 시계 방향 회전 행렬의 경우 항상 직교 기본이 있습니다. $\mathbb{R}^n$ 어느 $A$ 블록 대각선 형태를 취함 $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
이것은 회전이 근본적으로 2 차원 아이디어이며 더 높은 차원으로 부트 스트랩된다는 것을 나타냅니다. 실제로 모든 회전을 구성하는 방법을 제공합니다.$\mathbb{R}^n$: 선택 $2$-비행기 및 약간 회전하십시오. 직교 보완에서$2$-비행기 및 회전. 이 둘의 직교 보완에서$2$-비행기, 선택 $2$-평면 및 회전 등
에 대해 생각 $\mathbb{R}^3$ 잠시 동안 회전 $xy$-평면은 한 지점에서 거리를 변경하지 않습니다. $xy$ 의 모든 지점에 비행기 $z$-중심선. 사실, 회전$xy$ 비행기는 $z$중심선. 위의 분해는이 아이디어가 더 높은 차원으로 전파됨을 나타냅니다. 예를 들어$\mathbb{R}^4$ (좌표와 함께, $(x,y,z,t)$) 회전 $xy$ 평면은 한 지점으로부터의 거리를 변경하지 않습니다. $xy$ 의 한 지점에 평면 $zt$ 비행기.
이것이 예를 들어 $\Bbb S^3$두 가지를 반대 방향으로 회전시킬 수 있습니다. 시각화하기는 어렵지만$xy$-비행기는 영향을 미치지 않습니다 $zt$-비행기, 그래서 "뒤틀림"없음 $\Bbb S^3$ 당신의 행동에서 발생합니다.
반면에 실린더 동작의 경우 동작이 $\mathbb{R}^3$실린더로 제한되므로 위의 어느 것도 적용되지 않습니다. 사실, 나는 실린더에 대한 당신의 행동을 회전이라고 부르지 않을 것입니다. 각 경계 구성 요소에 대한 회전이지만 그 사이에 무엇이 있는지 누가 압니까!
하나는 회전을 기대하지 않을 것입니다 $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ 선, 즉 실제 차원의 "회전축"을 갖도록 $1$. 반면에, 하나는 것 실제여 차원을하려면 "회전의 축"기대$2$, 그것이하는 일 : 전체 비행기 $w_1=0$고쳐 졌어. 그리고 당신이 그 평면을 교차 할 때$S^3$ 고정 된 원을 얻습니다.
이 예제를 시각화하려면 다음 사실을 사용하여 수행 할 수 있습니다. $S^3$ 1 점 압축입니다. $\mathbb R^3$, 내가 쓸 $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$. 이 모델에서는 고정 점의 원을 단위 원으로 시각화 할 수 있습니다.$x,y$-비행기: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ 이 고정 된 점의 원 밖에서 활동의 다른 모든 궤도는 원이며,이 원 궤도를 다음과 같이 시각화 할 수 있습니다. $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ 사용 $(r,\theta,z)$다음과 같이 원통형 좌표. 원 궤도 중 하나는$\text{$지$-axis} \cup \{\infty\}$. 그런 다음 각 일정한 각도에 대해$\theta_0$, 반면 $\theta = \theta_0$ 단일 지점에서 고정 원을 뚫습니다. $P(\theta_0)$ 좌표로 $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$, 그 반면의 경계 모서리는 $z$-축은 궤도이고 나머지 반면은 한 방향으로 단일 지점에 접근하고 점점 더 작아지고 $z$-다른 방향의 축이 점점 커지고 있습니다 (쌍곡선 메트릭에서 $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ 이 반면에서 이것들은 중심에있는 동심원입니다. $P(\theta_0)$).